136
ESSAI SUR LES PRINCIPES
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} }{u}}\varphi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\varphi p.{\frac {\varphi p}{\operatorname {d} ft}},\qquad &{\frac {\operatorname {d} }{v}}\varphi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\varphi p.{\frac {\psi p}{\operatorname {d} ft}},\\{\frac {\operatorname {d} }{u}}\psi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\psi p.{\frac {\varphi p}{\operatorname {d} ft}},\qquad &{\frac {\operatorname {d} }{v}}\psi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\psi p.{\frac {\psi p}{\operatorname {d} ft}},\\\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2730457060e0fcef924858ecca58643ac77933cc)
(126)
Quand on fait, dans (118),
il vient
Supposons que cette équation donne
; on aura
et, d’après les équations (125),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p_{0}={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} (x+\theta ).{\frac {\varphi (x+\theta )}{\operatorname {d} f\theta }}\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p_{0}={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} (x+\theta ).{\frac {\psi (x+\theta )}{\operatorname {d} f\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b010ee3f7a3aa0e3d7ecd7cdf1d94d86ed8182e4)
Voilà déjà les trois premiers termes du développement (119) entièrement déterminés. Pour passer outre, on différencie les équations (125), la première suivant
et
la seconde suivant
et on a, pour
des expressions qui contiennent linéaîrement les différentielles, selon
de
et
On élimine Les différentielles suivant
et
par le moyen des équations (124), (125), (126) ; et, réductions faites, il vient
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{u}}\operatorname {F} p=&{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\left[{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{2}\right]}{(\operatorname {d} ft)^{2}}}-{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{2}.\operatorname {d} ^{2}ft.\left(1+2{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}{(\operatorname {d} ft)^{3}}},\\{\frac {\operatorname {d} }{u}}{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} =&{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\left[{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.\varphi p.\psi p\right]}{(\operatorname {d} ft)^{2}}}-{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p).(\psi p).\operatorname {d} ^{2}ft.\left(1+2{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}{(\operatorname {d} ft)^{3}}},\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{v}}\operatorname {F} p=&{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\left[{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\psi p)^{2}\right]}{(\operatorname {d} ft)^{2}}}-{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\psi p)^{2}.\operatorname {d} ^{2}ft.\left(1+2{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}{(\operatorname {d} ft)^{3}}}.\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc16391345858be29577a1d8b094f49832ba8a7a)
(127)
Dans celles-ci, on satisfait à l’hypothèse
qui donne ![{\displaystyle t=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901c9fd29d5d0fa954c86af5b3de0c9d4ba83698)