C’est avec cette formule que Nicole enseigne à sommer une infinité de suites (Mémoires de l’académie des sciences de Paris. 1727).
Ces séries ont la propriété d’être arrêtées à quel terme on veut, et d’avoir un terme complémentaire, nécessaire pour conserver l’identité. Dans la première, ce complément est le reste de la division à laquelle on s’en tient, divisé par ; et dans la seconde, il se trouve à la fin. Je savais que la série de Taylor a, dans le fait, un semblable complément qui doit aussi appartenir à toutes celles qui en dérivent, et par conséquent à toutes les séries connues ; d’où il m’a été permis de conjecturer que toutes les séries doivent être le résultat d’une suite de transformations d’équations identiques ; que toutes doivent jouir de l’avantage d’être arrêtées où l’on veut, et de conserver l’identité par le moyen d’un terme complémentaire. Cette conjecture s’est heureusement changée en certitude, et il en est résulté une notion nouvelle, et bien importante, sur la nature des séries. On a vu au commencement du précédent mémoire, comment, en partant d’équations identiques, je suis arrivé aux développemens fondamentaux. « Le procédé que suit l’auteur (est-il dit dans le rapport de MM. les Commissaires) a deux avantages qu’il faut remarquer ; le premier, c’est qu’il n’exige pas que l’on connaisse à l’avance la forme des séries qu’on cherche ; le second, c’est qu’il permet d’arrêter ces séries à quelque terme que ce soit ». La forme du complément se reconnaît sur-le-champ. Pour la série de Taylor, en particulier, cette forme est celle que Ampère a remarqué le premier, dans un très-beau mémoire d’analise (XIII.e cahier du Journal de l’école polytechnique).
Ici encore, je me trouve en opposition directe avec le Philosophe transcendantal. « Les séries, prises dans toute leur généralité,… ont, par elles-mêmes, dans le nombre indéfini de leurs termes, et
