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RÉSOLUES.

${\text{Pour }}M{\text{ pair}}\left\{{\begin{aligned}G&={\frac {g}{N^{2}}},\\H&=0\,;\\\end{aligned}}\right.\qquad {\text{Pour }}M{\text{ impair}}\left\{{\begin{aligned}G&=0,\\H&={\frac {h}{N^{2}}}.\\\end{aligned}}\right.$

Ainsi, dans notre exemple, où $M=3,$ on a

$G=0\qquad H=a{\tfrac {72}{36}}=2.$

On fera ensuite, quel que soit $M\,;$

$G'={\frac {g'}{2N^{2}}},\qquad H'={\frac {h'}{2N^{2}}},\qquad A'=A''={\frac {\alpha }{2N^{2}}},\qquad \Omega ={\frac {\omega }{4N^{2}}}\,;$

ce qui donne, dans notre exemple,

$G'={\tfrac {288}{72}}=4,\quad H'={\tfrac {0}{72}}=0,\quad A'=A''={\tfrac {72}{72}}=1,\quad \Omega ={\tfrac {144}{144}}=1.$

11. Enfin, en nommant $\Pi$ le nombre des polygones qui sont l’objet du problème, ce nombre, dans le cas de $N$ impair, sera la somme de toutes les fonctions $\Sigma ,\Sigma ',\Sigma '',\Xi \,;$ et dans le cas de $N$ pair, il sera cette somme, augmentée de celle des nombres $G,H,G',H',A',A'',\Omega .$

Ainsi puisque, dans notre exemple, $N=6,$ nombre pair, on aura

$\Pi =\Sigma 1+\Sigma 3+\Sigma '2+\Sigma ''2+\Xi 1+\Xi 2+\Xi 3+G+H+G'+H'+A'+A''+\Omega$

$=1+1+1+0+0+0+0+0+2+4+0+1+1+1$

ou$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Pi =12.$

On aura donc douze polygones essentiellement différens, Si l’on veut les construire, il suffira de construire douze cercles, de diviser chacun d’eux en six parties égales, de numéroter ensuite consécutivement les points de division ainsi qu’il suit

${\begin{array}{rrr}123456,&135264,&124635,\\126453,&126543,&124653,\\125634,&125364,&126354,\\125436,&124365,&123645,\\\end{array}}$

et joindre enfin les points de division par des cordes, suivant les conditions prescrites dans l’énoncé du problème.

12. En faisant successivement diverses suppositions pour $N,$ et appliquant à chacune d’elles les méthodes qui viennent d’être développées ; on trouve,