un indice que les raisonnemens qu’elles ont pour objet ne sont pas tout à fait sans reproches.
Dans d’autres démonstrations, on attaque de front la proposition à établir, en faisant voir qu’il existe toujours au moins une quantité, de la forme qui, prise pour rend nul le polynôme proposé, ou bien qu’on peut résoudre ce polynôme en facteurs-réels du premier ou du second degré. C’est la marche qu’a suivi Lagrange. Ce grand géomètre a montré que les raisonnemens faits avant lui, sur ce même sujet, par d’Alembert, Euler, Foncenex, etc., étaient incomplets (Résolut. des équat. numériq. notes IX et X). Les uns employaient des développemens en séries, es autres des équations subsidiaires ; mais ils n’avaient pas prouvé, ce qui était pourtant nécessaire, que les coefficiens de ces équations et de ces séries étaient toujours réels. Ces géomètres admettent implicitement le principe « que, si une question dans laquelle il s’agit de déterminer une inconnue peut être résolue de manières, elle doit conduire à une équation du degré » Lagrange lui-même le regarde comme légitime, quoiqu’il n’en fasse pas usage dans les démonstrations citées. Or, ne pourrait-on pas dire encore que ce principe, extrêmement probable sans doute, n’est pas démontré, et rentre dans la classe de ces sortes d’axiomes dont il était question tout à l’heure. Il semble sur-tout que, comme on ne peut en acquérir la persuasion que par une pratique assez longue dans la science, ce n’est pas le lieu de l’employer, quand il s’agit d’une proposition qui, dans l’ordre théorique, est une des premières qui se présentent à démontrer dans l’analise. Cette observation, au reste, n’a nullement pour objet d’élever une chicane, qui serait aussi déplacée qu’inutile, sur des conceptions auxquelles tous les géomètres doivent le tribut de leur estime. Elle tend seulement à faire sentir la difficulté de traiter ce sujet d’une manière satisfaisante.
D’après ces considérations, il paraît qu’une démonstration à la fois directe, simple et rigoureuse peut encore mériter d’être offerte aux géomètres. Je vais donc reprendre ici celle de la page 142
