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ne pourrait jamais devenir nulle ; et, de toutes les valeurs de
il y en aurait nécessairement une qui serait plus petite que toutes les autres. Nommons donc
la valeur de
qui donnerait ce minimum ; on ne pourrait pas avoir
![{\displaystyle y'_{(\xi +i)}<y'_{\xi },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f1ae6eed7d5ead732ea200c702fea84fe57f98)
quelle que fût la quantité ![{\displaystyle i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
Or, par le développement, on a
(A)
![{\displaystyle \quad y_{(\xi +i)}=y_{\xi }+\left\{nz^{n-1}+(n-1)z^{n-2}+\ldots +f\right\}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4183d839fa915c7d18312d4d8a9f40af2d4b2c96)
![{\displaystyle +\left\{{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}z^{2}+\ldots \right\}i^{2}+\ldots +(nz+a)i^{n-1}+i^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13b8f83f175473d66b051f7282162a962f838e3)
Comme les coefficiens des différentes puissances de
peuvent être nuls, et que ce cas demanderait des considérations particulières, il conviendra de traiter la question d’une manière générale, en représentant l’équation précédente par
(B)
![{\displaystyle \quad y_{(\xi +i)}=y_{\xi }+Ri^{r}+Si^{s}+\ldots +Vi^{v}+i^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed85cf383013f048e0541e6808c69c9b0f44730d)
de manière qu’aucun des coefficiens
ne soit nul, et que les exposans
aillent en augmentant. Il faut remarquer que, si tous les coefficiens de (A) étaient nuls, l’équation
(B) se réduirait à
Faisant donc
on aurait
et le théorème serait démontré pour ce cas dont on peut, par conséquent, faire abstraction dans ce qui va suivre. Ainsi nous supposerons que le second membre de l’équation (B) a au moins trois termes.
Cela posé, que l’on construise
en prenant
![{\displaystyle \mathrm {\overline {KP}} =y_{\xi },\ \mathrm {\overline {PA}} =Ri^{r},\ \mathrm {\overline {AB}} =Si^{s},\ldots \mathrm {\overline {FG}} =Vi^{v},\ \mathrm {\overline {GH}} =i^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa26e34202b6381d136792ee987facb97eb706f)
on aura