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D’ASTRONOMIE

ploi de cette lettre, et d’établir une analogie convenable entre les formules elliptiques et hyperboliques. Ainsi, nous désignerons l’angle $\mathrm {ABC}$ par $\mu \,;$ ce qui donnera

${\begin{aligned}AC&=b,\\AB&=b\operatorname {Cot} .\mu ,\\BC=CF&=b\operatorname {Cosec} .\mu ,\\\end{aligned}}$

L’ordonnée $\mathrm {FN} ,$ qui répond au foyer de l’hyperbole, dont le double est ce qu’on nomme le paramètre de la courbe, et dont nous aurons besoin par la suite, deviendra donc $b\operatorname {Cot} .^{2}\mu .$ L’expression générale du rayon vecteur $\mathrm {FM}$ sera

$\mathrm {FM} ={\frac {b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Cot} .\phi }{\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\phi }}$

en continuant de désigner par $\phi$ l’anomalie vraie, ou l’angle $\mathrm {AFM} .$

128. En employant ces notations, on trouvera, pour la surface du secteur curviligne $\mathrm {AFM} ,$ proportionnelle au temps, l’expression qui suit :

$2\mathrm {AFM} ={\frac {b^{2}\operatorname {Cot} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }}-b^{2}\operatorname {Cot} .\mu \operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }},$

Si, dans cette expression, on fait

$\varkappa =\operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }},$

elle deviendra.

$2\mathrm {AFM=AB.BC} .{\frac {e^{\varkappa }-e^{-\varkappa }}{2}}-\mathrm {AC.AB} .\varkappa \,;$

et si, dans cette dernière, on fait $\mathrm {AC} =a,\mathrm {BC} =c,$ et que de plus on remplace $\mathrm {AB}$ et $\varkappa$ par $ib$ et $i\varkappa ,\ i$ étant ${\sqrt {-1}},$ on retrouvera la formule elliptique connue

$2\mathrm {AFM} =ab\varkappa -bc\operatorname {Sin} .\varkappa \,;$