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PROBLÈMES

l’anomalie excentrique de l’ellipse sera donc remplacée ici par le logarithme naturel de la fraction

${\frac {1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {Sin} .\mu }}.$

On sent, au surplus, que, dans l’hyperbole de même que dans la parabole, l’anomalie vraie $\phi ,$ de même que l’excentrique $\varkappa ,$ est toujours comptée depuis le périhélie.

129. Il conviendra de choisir quelque signe représentatif des deux fractions ${\frac {e^{\varkappa }+e^{-\varkappa }}{2}}$ et ${\frac {e^{\varkappa }-e^{-\varkappa }}{2}},$ analogues à $Cos.\varkappa$ et $Sin.\varkappa .$ Nous conserverons ces deux notations, mais en les écrivant, comme nous venons de le faire, en caractères italiques. Ainsi, au lieu de $\operatorname {Cos} .^{2}\varkappa +\operatorname {Sin} .^{2}\varkappa =1,$ nous aurons dorénavant

$Cos.^{2}\varkappa -Sin.^{2}\varkappa =1.$

Nous aurons de même

$Cos.^{2}\varkappa +Sin.^{2}\varkappa =Cos.2\varkappa ,$

$2Cos.^{2}\varkappa =Cos.2\varkappa +1,$

$2Sin.^{2}\varkappa =Cos.2\varkappa -1,$

$2Cos.\varkappa Sin.\varkappa =Sin.2\varkappa .$

Indépendamment des caractères italiques, les notations $Cos.\varkappa$ et $Sin.\varkappa$ seront toujours reconnaissables en ce que, dans toute cette analise des orbites hyperboliques, elles seront invariablement liées avec les angles $\varkappa$ et $\varkappa ',$ de même qu’avec leur demi-somme et leur demi-différence, et jamais avec l’excentricité $\mu ,$ ni avec les anomalies vraies $\phi$ et $\phi '.$

130. Le développement en séries donne

$Cos.\varkappa =1+{\frac {\varkappa ^{2}}{1.2}}+{\frac {\varkappa ^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {\varkappa ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots$

$Sin.\varkappa ={\frac {\varkappa }{1}}+{\frac {\varkappa ^{3}}{1.2.3}}+{\frac {\varkappa ^{5}}{1.2.3.4.5}}+{\frac {\varkappa ^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots$