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D’ASTRONOMIE

Ces deux séries connues sont décomposables en facteurs infinis. On voit que $Cos.\varkappa$ et ${\frac {Sin.\varkappa }{\varkappa }}$ sont toujours plus grands que l’unité, tandis que $\operatorname {Cos} .\varkappa$ et ${\frac {\operatorname {Sin} .\varkappa }{\varkappa }}$ étaient constamment moindres que l’unité. Heureusement, de nos trois sections coniques, l’hyperbole est la moins fréquente dans ses applications, sans quoi il faudrait construire des tables de $Cos.\varkappa$ et $Sin.\varkappa ,$ comme nous en avons pour $\operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\varkappa .$

131. En introduisant deux angles quelconques $\varkappa$ et $\varkappa '$, indépendans entre eux, on aura les expressions qui suivent

${\begin{aligned}Sin.(\varkappa '+\varkappa )&=Sin.\varkappa 'Cos.\varkappa +Cos.\varkappa 'Sin.\varkappa ,\\Sin.(\varkappa '-\varkappa )&=Sin.\varkappa 'Cos.\varkappa -Cos.\varkappa 'Sin.\varkappa ,\\Cos.(\varkappa '+\varkappa )&=Cos.\varkappa 'Cos.\varkappa +Sin.\varkappa 'Sin.\varkappa ,\\Cos.(\varkappa '-\varkappa )&=Cos.\varkappa 'Cos.\varkappa -Sin.\varkappa 'Sin.\varkappa \,;\\\end{aligned}}$

d’où il résulte

${\begin{aligned}2Sin.\varkappa 'Cos.\varkappa &=Sin.(\varkappa '+\varkappa )+Sin.(\varkappa '-\varkappa ),\\2Cos.\varkappa 'Sin.\varkappa &=Sin.(\varkappa '+\varkappa )-Sin.(\varkappa '-\varkappa ),\\2Cos.\varkappa 'Cos.\varkappa &=Cos.(\varkappa '+\varkappa )+Cos.(\varkappa '-\varkappa ),\\2Sin.\varkappa 'Sin.\varkappa &=Cos.(\varkappa '+\varkappa )-Cos.(\varkappa '-\varkappa ).\\\end{aligned}}$

132. De l’anomalie excentrique $\varkappa ,$ on repassera facilement à l’anomalie vraie que lui répond ; on aura

$\operatorname {Sin} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\mu Sin.\varkappa }{Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }},\qquad \operatorname {Cos} .\phi ={\frac {1-\operatorname {Sin} .\mu Cos.\varkappa }{Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }}.$

On aura de même le rayon vecteur $\mathrm {FM}$ par la formule

${\frac {r}{b}}={\frac {Cos.\varkappa -\operatorname {Sin} .\mu }{\operatorname {Sin} .\mu }}={\frac {Cos.\varkappa }{\operatorname {Sin} .\mu }}-1\,;$

enfin, la surface du secteur $\mathrm {AFM}$ se trouvera ; par la formule très-simple