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PROBLÈMES

Ainsi, dans le cas $T=T',$ les aires $A,A'$ étant supposées décrites dans des temps égaux, on aura la proportion, très-générale, $A:A'={\sqrt {p}}:{\sqrt {p'}}\,;$ c’est-à-dire, les aires des secteurs sont entre elles comme les racines quarrées des paramètres des deux orbites.

187. Appliquons cette proportion à l’analise qui nous occupe. L’un des deux astres est la terre, décrivant, sur un cercle du rayon $a,$ l’angle au centre $\theta '-\theta .$ Le demi-paramètre est ici $a,$ et la surface du secteur est ${\tfrac {1}{2}}a^{2}(\theta '-\theta ).$ L’autre est une hyperbole dont le demi-axe transverse est $b,$ la distance du foyer au centre $b\operatorname {Cosec} .\mu ,$ et le demi-paramètre $bCos.^{2}\mu .$ Cette comète aura donc décrit, dans le temps même qui sépare les deux observations, l’aire $\mathrm {MFM} ',$ dont nous venons de donner l’expression littérale. Cela donne la proportion

${\tfrac {1}{2}}a^{2}(\theta '-\theta ):\mathrm {MFM} '={\sqrt {a}}:{\sqrt {b}}.\operatorname {Cos} .\mu ,$

d’où résulte l’égalité

$a{\sqrt {ab}}(\theta '-\theta )\operatorname {Cos} .\mu =2\mathrm {MFM} '\,;$

ou bien

$(\theta '-\theta )a{\sqrt {a}}=(\operatorname {Cosec} .\mu Cos.\chi Sin.\Psi -\Psi )2b{\sqrt {b}}.$

138. De même que, dans les problèmes précédens, nous devons nous rappeler que la fraction ${\frac {b}{a}},$ qui multiplie $P,P',Q,Q',$ dans les formules du n.^o 55 (Annales, tom. IV, pag. 245), est elle-même une de nos inconnues. En faisant, comme ci-dessus, ${\frac {a}{b}}=n,$ et en conservant les notations

${\begin{array}{lll}P=nM,&Q=nN,&R=nO\,;\\P'=nM',&Q'=nN',&R'=nO'\,;\\\end{array}}$

les quantités $M,N,O,M',N',O',$ seront celles qu’on aura déduites immédiatement des formules du n.^o 55, lesquelles, au signe près, sont identiquement les mêmes dans l’ellipse et dans