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D’ASTRONOMIE.

${\frac {2\varpi }{pq}}D={\tfrac {Sin.\phi }{6(p-q)^{5}}}\left\{{\begin{aligned}&\left(10p^{4}-10p^{3}q-6p^{2}q^{2}+2pq^{3}+4q^{4}\right)\\-&\left(26p^{4}-14p^{3}q-45p^{2}q^{2}+28pq^{3}+5q^{4}\right)Cos.^{2}\phi .\\\end{aligned}}\right\}$

Les deux termes de cette fraction sont divisibles par le quarré $(p-q)^{2},$ ce qui donne

${\frac {2\varpi }{pq}}D={\frac {\left\{\left(10p^{2}+10pq+4q^{2}\right)-\left(26p^{2}+38pq+5q^{2}\right)Cos.^{2}\phi \right\}Sin.\phi }{6(p-q)^{3}}}\,;$

en conséquence

$D={\frac {pq\left\{\left(10p^{2}+10pq+4q^{2}\right)-\left(26p^{2}+38pq+5q^{2}\right)Cos.^{2}\phi \right\}Sin.\phi }{12\varpi (p-q)^{3}}}.$

160. En appliquant les mêmes formules à la recherche du coefficient suivant $E,$ j’ai trouvé

$E={\tfrac {pqSin.\phi Cos.\phi }{48\varpi (p-q)^{4}}}\left\{{\begin{aligned}-&\left(145p^{3}+291p^{2}q+101pq^{2}+9q^{3}\right)\\+&\left(206p^{3}+514p^{2}q+173pq^{2}+9q^{3}\right)Cos.^{2}\phi \\\end{aligned}}\right\}.$

En conséquence, voici le tableau des cinq premiers coefficiens $A,B,C,D,E,$ de la série $A+B\gamma +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}+E\lambda ^{4}+\ldots ,$ qui fait connaître les époques de toutes les conjonctions et oppositions du satellite avec la planète principale, qui peuvent avoir lieu dans un temps quelconque. On se rappellera que $n$ désigne un nombre entier quelconque, pair dans les conjonctions, impair dans les oppositions du satellite vu de la planète. Nous continuerons d’employer la lettre $\phi ,$ pour désigner l’angle ${\frac {2\varpi A}{p}}={\frac {q(n\varpi -\alpha )}{p-q}}.$ On aura

${\begin{aligned}2(p-q)\varpi A=&+pq(n\varpi -\alpha ),\\2(p-q)\varpi B=&-2pqSin.\phi ,\\4(p-q)^{2}\varpi C=&+pq(5p+3q)Sin.\phi Cos.\phi ,\\12(p-q)^{3}\varpi D=&+pq\left(10p^{2}+10pq+4q^{2}\right)Sin.\phi \\&-pq\left(26p^{2}+38pq+5q^{2}\right)Sin.\phi Cos.^{2}\phi ,\\48(p-q)^{4}\varpi E=&-pq\left(145p^{3}+291p^{2}q+101pq^{2}+9q^{3}\right)Sin.\phi Cos.\phi \\&+pq\left(206p^{3}+514p^{2}q+173pq^{2}+9q^{3}\right)Sin.\phi Cos.^{2}\phi ,\\\end{aligned}}$

et ainsi des autres.