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DES IMAGES.

$\operatorname {Tang} .\theta =A,\qquad {\frac {g}{h}}=p,\qquad {\frac {\sqrt {g^{2}-h^{2}}}{h}},\quad {\text{ d’où }}\quad p^{2}-1=q^{2}.$

Les sinus d’incidence et de réfraction seront respectivement

${\frac {A}{\sqrt {1+A^{2}}}},\qquad {\frac {A}{p{\sqrt {1+A^{2}}}}},$

d’où il suit que la tangente de réfraction sera

${\frac {A}{\sqrt {p^{2}+\left(p^{2}-1\right)A^{2}}}}={\frac {A}{p{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}}.$

Or, les triangles $\mathrm {M_{0}N_{1}M_{1},M_{1}N_{2}M_{2},M_{2}N_{3}M_{3}} ,\ldots \mathrm {M_{n-1}N_{n}M_{n}}$ sont tous isocèles et égaux ; ils ont leur hauteur commune $=\mathrm {MN} =e,$ et leur angle au sommet doit être double de l’angle de réfraction ; d’où il résulte qu’on doit avoir

$\mathrm {M_{0}M_{1}=M_{1}M_{2}=M_{2}M_{3}} =\ldots \mathrm {M_{n-1}M_{n}} ={\frac {2eA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}\,;$

et, par conséquent,

$\mathrm {MM_{n}=MM_{0}+M_{0}M_{n}} =kA+{\frac {2neA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}.$

D’après cela l’équation du rayon réfléchi $\mathrm {M_{n}R_{n}}$ sera

$y-kA-{\frac {2neA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}=-A(x+k)\,;$

ou, en réduisant et chassant les dénominateurs,

$(y+Ax){\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}=2neA\,;\qquad$(I)

équation indépendante de $k$ ; d’où il résulte que les dimensions des caustiques que nous obtiendrons devront l’être aussi.

Pour obtenir l’équation générale de ces caustiques, il faut, comme l’on sait, éliminer $A$ entre l’équation (I) et sa dérivée, prise par rapport à cette lettre^[1]. Cette dérivée est, toutes réductions faites,

1. Voyez la page 361 du 3.^me volume de ce recueil.