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MULTIPLICITÉ

$x\left(p^{2}+q^{2}A^{2}\right)+q^{2}(y+Ax)A=2ne{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}.\qquad$(II)

Pour éliminer facilement $A$ entre les équations (I) et (II), considérons-y $x$ et $y$ comme deux inconnues ; nous en tirerons ainsi

$x=2ne{\frac {p^{2}}{(p^{2}+q^{2}A^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {2ne}{p}}\left({\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}\right)^{3},$

$y=2ne{\frac {q^{2}A^{3}}{\left(p^{2}+q^{2}A^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {2ne}{q}}\left({\frac {qA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}\right)^{3}\,;$

et par conséquent

$\left({\frac {px}{2ne}}\right)^{\frac {1}{3}}={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}},$

$\left({\frac {qy}{2ne}}\right)^{\frac {1}{3}}={\frac {qA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}\,;$

équations, d’où on tire, en prenant la somme de leurs quarrés

$\left({\frac {px}{2ne}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {qy}{2ne}}\right)^{\frac {2}{3}}=1\,;\qquad$(III)

et telle est l’équation générale des caustiques cherchées.

Mais, en rapportant une ellipse à ses diamètres principaux $2a,2b,$ l’équation de sa développée est

$\left({\frac {ax}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {by}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}=1\,;$^[1]

1. On sait, en effet, que l’équation générale de toutes les normales à l’ellipse est
   $b^{2}x'(y-y')=a^{2}y'(x-x')\,;\qquad$(1)

   les constantes arbitraires $x',y'$ étant liées par la relation

   $b^{2}x'^{2}+a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2}.\qquad$(2)

   Or, la développée d’une ellipse n’étant autre chose que la courbe à laquelle toutes ces normales sont tangentes, il s’ensuit (tom. III, pag. 361) que, pour