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DES IMAGES.

donc nos caustiques sont les développées d’une suite d’ellipses semblables, dont les axes se confondent avec ceux des $x$ et des $y,$ et dont les demi-axes, donnés par les équations

avoir l’équation de cette développée, il faut d’abord différencier les deux équations ci-dessus, par rapport à $x'$ et $y',$ ce qui donnera

$\left\{a^{2}x-\left(a^{2}-b^{2}\right)x'\right\}{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}-\left\{b^{2}y+\left(a^{2}-b^{2}\right)y'\right\}=0,$
$a^{2}y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}+b^{2}x'=0\,;$

d’où on conclura, par l’élimînation de ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}},$

$b^{2}x'\left\{a^{2}x-\left(a^{2}-b^{2}\right)x'\right\}+a^{2}y'\left\{b^{2}y+\left(a^{2}-b^{2}\right)y'\right\}=0\,;\qquad$(3)

et il ne sera plus question que d’éliminer $x',y'$ entre les trois équations (1), (2), (3).

Or, si l’on considère $x$ et $y$ comme inconnues, dans les équations (1), (3), on en tirera, en ayant égard à l’équation (2),

$x=+{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{3}}{a^{4}}},\qquad y=-{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)y'^{3}}{b^{4}}}\,;$

d’où

$\left({\frac {ax}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}={\frac {x'^{2}}{a^{2}}},\qquad \left({\frac {by}{a^{2}-b^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}={\frac {y'^{2}}{b^{2}}}\,;$

en prenant la somme de ces équations, et ayant toujours égard à l’équation (2), on obtiendra l’équation indiquée dans le texte.

Ce résultat conduit à soupçonner que souvent des caustiques dont les équations sont très-compliquées pourraient bien être des développées d’autres courbes dont les équations seraient incomparablement plus simples.