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RÉSOLUES.

Or, c’est une chose facile à vérifier. $A$ étant un nombre qui résout le problème, on doit avoir

$A^{2}=10^{n}x+A\,;\qquad$(2)

or, en éliminant $A$ entre ces deux équations, il vient

$A'^{2}=10^{n}\left(2A'+x-10^{n}-1\right)+A'\,;$

ou, en posant $2A'+x-10^{n}-1=x',$

$A'^{2}=10^{n}x'+A'\,;\qquad$(3)

ce qui prouve que $A',$ liée à $A$ par la relation (1), résout également le problème. Au moyen de cette remarque, on n’aura qu’une seule série de valeurs à calculer.

III. Au lieu de demander que les mêmes $n$ derniers chiffres se reproduisent à la droite de chaque puissance, on pourrait exiger seulement qu’ils se reproduisissent de deux en deux puissances, ou de trois en trois, de quatre en quatre, et généralement de $m$ en $m\,;$ et d’abord les nombres que nous venons précédemment de trouver résoudraient le problème ; puisque toute suite de termes égaux peut être considérée comme une suite périodique dont les périodes ont tant et si peu de termes qu’on veut. Mais si l’on exigeait que les mêmes $n$ derniers chiffres reparussent $m$ en $m$ puissances et pas plutôt, le problème deviendrait possible ou impossible suivant la nature des nombres $m$ et $n,$ ainsi qu’on va le voir.

Supposons, en premier lieu, que les mêmes $n$ derniers chiffres doivent se reproduire de deux en deux puissances ; la question se réduira évidemment à trouver un nombre de $n$ chiffres dont les chiffres soient respectivement les $n$ derniers chiffres de la droite de son cube.