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DE LA LIGNE DROITE

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,;$

c’est-à-dire, en substituant et divisant par $r^{2},$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$

Soit ensuite une autre droite

$\left.{\begin{aligned}x'=&a'r',\\y'=&b'r',\\z'=&c'r'\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad (r')$

rapportée aux mêmes axes ; nous aurons pareillement

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=1\,;$

et ensuite, par un théorème sur les triangles rectilignes,

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+\left(z^{2}-x'\right)^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\operatorname {Cos} .(r,r')$

ou, en substituant, ayant égard aux relations ci-dessus, réduisant, divisant par $2rr'$ et transposant

$\operatorname {Cos} .(r,r')=aa'+bb'+cc'.$

Cela posé, concevons présentement que les équations (r) appartiennent à un système d’axes non rectangulaires. Par la même origine concevons un système rectangulaire ; soient $t,u,v,$ les projections de $r$ sur les axes de ce système ; en sorte qu’on ait

$t^{2}+u^{2}+v^{2}=r^{2}\,;$

soient de plus $x,y,z$ les projections obliques de $r$ sur les axes primitifs ; et soient enfin

$\left.{\begin{array}{lll}t',&u',&v',\\t'',&u'',&v'',\\t''',&u''',&v''',\\\end{array}}\right\}{\text{ les projections respectives de }}\left\{{\begin{aligned}x,&\\y,&\\z,&\\\end{aligned}}\right.$

sur les axes rectangulaires, ce qui donnera conséquemment

${\begin{array}{llll}t'^{2}&+u'^{2}&+v'^{2}=&x^{2},\\t''^{2}&+u''^{2}&+v''^{2}=&y^{2},\\t'''^{2}&+u'''^{2}&+v'''^{2}=&z^{2}\,;\\\end{array}}$

et en outre, par ce qui précède,