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DE LA LIGNE DROITE

${\begin{aligned}x=&\alpha +dp+gq,\\y=&\beta +ep+hq,\\z=&\gamma +fp+kq.\\\end{aligned}}$

Or comme, en variant les grandeurs et les signes de $p$ et $q,$ ce sommet peut devenir un quelconque des points du plan où il est situé, et n’en peut jamais sortir ; il s’ensuit que ces équations sont celles de ce plan.

Dans le cas particulier où $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont nuls, le plan passe par l’origine, et ses équations sont simplement

$\left.{\begin{aligned}x=&dp+gq,\\y=&ep+hq,\\z=&fp+kq.\\\end{aligned}}\qquad \right\}\qquad (pq)$

Ce plan passe alors par deux droites dont les équations sont

$\left.{\begin{aligned}x=dp,&\\y=ep,&\\z=fp\,;&\\\end{aligned}}\right\}\quad (p)\quad \left.{\begin{aligned}x=gq,&\\y=hq,&\\z=kq.&\\\end{aligned}}\right\}\quad (q)$

d’où il suit qu’on a, entre les six constantes $d,e,f,g,h,k,$ qui déterminent la direction du plan $pq,$ les deux relations

$d^{2}+e^{2}+f^{2}+2ef\operatorname {Cos} .(y,z)+2fd\operatorname {Cos} .(z,x)+2de\operatorname {Cos} .(x,y)=1,$ (P)

$g^{2}+h^{2}+k^{2}+2hk\operatorname {Cos} .(y,z)+2kg\operatorname {Cos} .(z,x)+2gh\operatorname {Cos} .(x,y)=1\,;$ (Q)

mais les trois dernières sont tout à fait indépendantes des trois premières.

On doit remarquer encore que, lorsqu’on a,

$\left.{\begin{aligned}&\left\{{\begin{array}{lll}e=1,&f=0,&d=0,\\k=1,&g=0,&h=0\,;\\\end{array}}\right\}\\&\left\{{\begin{array}{lll}f=1,&d=0,&e=0,\\g=1,&h=0,&k=0\,;\\\end{array}}\right\}\\&\left\{{\begin{array}{lll}d=1,&e=0,&f=0,\\h=1,&k=0,&g=0\,;\\\end{array}}\right\}\\\end{aligned}}\right\}pq{\text{ devient }}\left\{{\begin{aligned}yz,&\\\\zx,&\\\\xy,&\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(II)

Cherchons l’angle de deux droites $r,r'\,;$ si l’on joint leurs ex-