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QUESTIONS

Il est d’ailleurs connu qu’à ces relations on peut substituer, comme équivalentes, les relations que voici :

$\left.{\begin{array}{lll}a^{2}&+a'^{2}&+a''^{2}=1,\\b^{2}&+b'^{2}&+b''^{2}=1,\\c^{2}&+c'^{2}&+c''^{2}=1.\\\end{array}}\right\}\quad {\text{(4)}}\quad \left.{\begin{array}{lll}bc&+b'c'&+b''c''=0,\\ca&+c'a'&+c''a''=0,\\ab&+a'b'&+a''b''=0,\\\end{array}}\right\}\quad$(5)

et qu’on en peut encore, entr’autres, déduire les suivantes,

$\left.{\begin{array}{lll}{\frac {b'c''-c'b''}{a}}=&{\frac {c'a''-a'c''}{b}}=&{\frac {a'b''-b'a''}{c}},\\{\frac {b''c-c''b}{a'}}=&{\frac {c''a-a''c}{b'}}=&{\frac {a''b-b''a}{c'}},\\{\frac {bc'-cb'}{a''}}=&{\frac {ca'-ac'}{b''}}=&{\frac {ab'-ba'}{c''}}.\\\end{array}}\right\}\quad$(6)

Les équations des faces de l’angle trièdre sont

${\begin{array}{rlrlrl}X&=x+a'r'+a''r'',&X&=x+a''r''+ar,&X&=x+ar+a'r',\\Y&=y+b'r'+b''r'',&Y&=y+b''r''+br,&Y&=y+br+b'r',\\Z&=z+c'r'+c''r'',&Z&=z+c''r''+cr,&Z&=z+cr+c'r'.\\\end{array}}$

Si, entre les trois équations de chacune d’elles on élimine les deux variables qui leur sont communes, on trouvera pour nouvelles équations de ces mêmes faces, en ayant égard aux relations (5),

$\left.{\begin{array}{llll}a(X-x)&+b(Y-y)&+c(Z-z)&=0,\\a'(X-x)&+b'(Y-y)&+c'(Z-z)&=0,\\a''(X-x)&+b''(Y-y)&+c''(Z-z)&=0.\\\end{array}}\right\}\quad$(7)

Ces choses entendues, nous pouvons procéder à la solution des deux questions proposées.

PROBLÈME I. Quelle surface décrit le sommet d’un angle