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DE LA MÉCANIQUE.
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(X,Y,Z,X',Y',Z',\ldots x,y,z,x',y',z',\ldots \right)=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00413446ea8d5a26879fe6cbcfa96839f7e9a4c)
(1)
Soient
d’autres forces, indépendantes des premières, appliquées aux mêmes points ; la condition de l’équilibre entre les forces totales
sera
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(X+P,Y+Q,Z+R,X'+P',Y'+Q',Z'+R',\ldots x,y,z,x',y',z',\ldots \right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842d3f3178e7c887b93e691c534ea4ecf904abd5)
ou, en supprimant dans le développement la partie détruite par l’équation (1), et désignant par
les fonctions dérivées de
prises successivement par rapport à ![{\displaystyle X,Y,Z,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7aacda48f9ef9f8331d7086dd4d29924d14059)
![{\displaystyle P\operatorname {F} _{x}(X,Y,Z,\ldots )+Q\operatorname {F} _{y}(X,Y,Z,\ldots )+R\operatorname {F} _{z}(X,Y,Z,\ldots )+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2c8163aa4d09ef8c781bc452302731951c8d97)
En vertu de la proposition mentionnée plus haut, les forces en équilibre
doivent s’évanouir, et il ne doit rester dans le premier membre de l’équation que les forces
donc les fonctions dérivées sont des dimensions nulles, et la fonction primitive
est linéaire ; ce qui change l’équation (1) en celle-ci
![{\displaystyle AX+BY+CZ+A'X'+B'Y'+C'Z'+\ldots =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e15d10c7a8714419040b79a81f052fb36647858)
(2)
étant des coefficiens encore inconnus ; mais indépendans de l’intensité des forces.
Cela posé, lorsque la résultante des forces
qui agissent le point
est perpendiculaire à la surface courbe sur laquelle ce point est assujetti à se mouvoir, c’est-à-dire, lorsqu’on a l’équation de condition
les forces
sont en équilibre, et la somme des termes qui contiennent ces forces doit s’évanouir ; donc l’expression linéaire
doit être de la forme
étant indépendant des forces. Par une raison semblable
doit être