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RÉSOLUES.
![{\displaystyle {\frac {x}{Aa}}={\frac {y}{Bb}}={\frac {z}{Cc}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72a67a0ae7a07f7d704008d0958e020355978f9)
ou enfin
![{\displaystyle {\frac {x}{\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {y}{\operatorname {Sin} .\beta }}={\frac {z}{\operatorname {Sin} .\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b29d54a44d8c2452f38b7a6f4ba00ca07b59e6)
§. II.
Trouver le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ?
Tout étant d’ailleurs comme ci-dessus, soient de plus
le centre et
le rayon de la sphère circonscrite en désignant par
les coordonnées du centre de cette sphère, respectivement parallèles aux arêtes
son équation sera
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(x-a'')^{2}+2(y-b'')(z-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(y-b'')^{2}+2(z-c'')(x-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(z-c'')^{2}+2(x-a'')(y-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=R^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1ee78f1cd47e734afe7fdd7a4b4182973793d4)
(4)
Pour exprimer que cette sphère passe par les quatre sommets
il faudra écrire que son équation est également satisfaite par chacun des quatre systèmes de valeurs
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}x=0,&y=0,&z=0,\\x=a,&y=0,&z=0,\\x=0,&y=b,&z=0,\\x=0,&y=0,&z=c.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d31ebd26ce05168834c3b036f1e6c435d64c52)
Cela donne
![{\displaystyle a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be437db552a09f8cf636741a34f3afa2e870123)
(5)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(a-a'')^{2}+b''^{2}+c''^{2}+2b''c''\operatorname {Cos} .\alpha -2c''(a-a'')\operatorname {Cos} .\beta -2b''(a-a'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+(b-b'')^{2}+c''^{2}-2c''(b-b'')\operatorname {Cos} .\alpha +2c''a''\operatorname {Cos} .\beta -2a''(b-b'')\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2},\\&a''^{2}+b''^{2}+(c-c'')^{2}-2b''(c-c'')\operatorname {Cos} .\alpha -2a''(c-c'')\operatorname {Cos} .\beta +2a''b''\operatorname {Cos} .\gamma =R^{2}.\\\end{aligned}}\right\}{\text{(6)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56cd932226c91d5fb725c4b2dc82aec924598e40)
Retranchant l’équation (5) de chacune des équations (6), celles-ci deviendront, en divisant la première par
la seconde par
et la troisième par ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)