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NOUVEAUX.

Parmi les différens cas où ${\frac {a}{b}}+{\frac {a'}{b'}}$ est constant, l’un des plus remarquables est celui où cette fonction est nulle. Les droites $\mathrm {D,D'}$ font alors, de differens côtés, des angles égaux soit avec la tangente soit, avec la normale ; c’est-à-dire, en d’autres termes, que la normale divise en deux parties égales l’angle formé par ces deux droites. Le point fixe de la tangente où concourent alors les droites $\mathrm {C}$ est donné (9) par la formule

$x=-{\frac {N}{A}}\,;$

ce point est donc celui où concourrent les tangentes aux deux extrémités de la normale. De là résulte ce théorème :

THÉORÈME II. Si l’on inscrit à une ligne du second ordre une suite de triangles, ayant tous un sommet commun, et dont l’angle à ce sommet soit divisé en deux parties égales par la normaie qui lui répond ; les côtés opposés de ces triangles iront tous concourir au point de la tangente où elle est coupée par la tangente à l’autre extrémité de cette normale ; d’où il résulte encore, par la théorie des pôles, que les points de concours des tangentes aux extrémités de ces troisièmes côtés de triangles seront situés sur une même droite, laquelle ne sera autre ici que la normale elle-même.

La vérité de ce théorème s’aperçoit au surplus immédiatement, en remarquant que l’équation du système de deux droites qui, passant par l’origine, font de part et d’autre des angles égaux ayec la normale, est de la forme

$x^{2}=\lambda y^{2},\qquad$(11)

dans laquelle $\lambda$ est une constante qui détermine l’angle des deux droites. Or, en éliminant $x^{2},$ entre cette équation et l’équation (1), il vient, en divisant par $y,$

$\left(N\lambda -2P\right)y-2P\left(Ax+N\right)=0\,;\qquad$(12)