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THÉORÈMES

équation d’une droite qui, quel que soit $wl,$ coupe toujours l’axe des $x$ au point pour lequel on a $x=-{\frac {N}{A}}.$

Il est aisé de voir, d’après cela, que si, par le point de la courbe que l’on considère, l’on mène deux cordes divisant en deux parties égales les angles que forme la normale avec la tangente, la droite qui joindra les extrémités de ces cordes déterminera, sur la normale et sur la tangente, les points fixes relatifs à nos deux théorèmes.

Une surface du second ordre étant donnée, et un point fixe étant pris arbitrairement sur cette surface ; si l’on prend les deux tangentes conjuguées rectangulaires de ce point pour axes des $x$ et des $y$ et la normale qui répond au même point pour axe des $z\,;$ en désignant par $N$ la longueur de la normale terminée à la surface, supposant que l’équation du plan tangent à la seconde extrémité, de cette normale est

$z=Ax+By+N,$

et représentant respectivement par $P$ et $Q$ les rayons de courbure des sections suivant les plans des $xz$ et des $yz\,;$ l’équation de la surface dont il s’agit prendra la forme

$N\left(Qx^{2}+Py^{2}\right)+2PQz\left(z-Ax-By-N\right)=0.$^[1]$\qquad$(1)

Soit $\mathrm {D}$ une droite menée arbitrairement par l’origine, et formant respectivement avec les axes des $x,$ des $y$ et des $z$ des angles dont les cosinus soient $a,b,c,$ ce qui donnera

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,;\qquad$(2)

les équations de cette droite seront

$cx=az,\qquad cy=bz\,;\qquad$(3)

en les combinant avec l’équation (1) ; on obtiendra, pour les coordonnées de l’intersection de $\mathrm {D}$ avec la surface courbe,

1. Voyez. Annales, tom. IV, pages 372 et 372