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MÉTHODE

${\begin{array}{llll}\zeta +\theta &={\frac {144}{169}}+{\frac {144}{193}}&={\frac {52128}{169.193}}&=1,5981849955,\\2\eta &={\frac {144}{180}}+{\frac {144}{180}}&={\frac {8}{5}}&=1,6000000000,\\\end{array}}$

d’où on conclura finalement

${\frac {\varpi }{4}}=0,7853981727.$

La valeur rigoureuse étant

${\frac {\varpi }{4}}=0,7853981634.$

il s’ensuit que l’erreur tombe au-dessous d’une unité décimale du huitième ordre.

28. Exemple V. Rectification générale de l’ellipse.

Ce célèbre problème qui exerce, depuis plus d’un siècle, le génie de nos plus grands analistcs, rentre de lui-même dans nos formules générales, dont il ne présente qu’un cas très-particulier. Soient $a,b$ les deux demi-axes, et proposons-nous de rectifier l’arc compris depuis l’extrémité de $a$ jusqu’au point dont la normale fait avec $a$ un angle $\lambda \,;$ la formule à intégrer sera

${\frac {a^{2}b^{2}\operatorname {d} \lambda }{\left(a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda \right)^{\tfrac {3}{2}}}},$

depuis $\lambda =0.$ Si l’on veut se contenter de la première formule, on remplacera successivement la lettre $\lambda ,$ dans

${\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda +b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda \right)^{\tfrac {3}{2}}}},$

d’abord par zéro et ensuite pars ${\tfrac {1}{6}},{\tfrac {2}{6}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {4}{6}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {6}{6}}$ de $\lambda .$ On aura ainsi les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta ,$ d’où on conclura celles de $a',b',c',d',$ et par suite celle de $A$ qui, multipliée par l’arc entier $\lambda ,$ exprimé en parties du rayon, fera connaître la longueur de l’arc cherché.

29. Supposons, par exemple, qu’il soit question d’assigner la