Cette différence est un peu plus sensible que celles de tous les problèmes précédens ; mais il faut considérer aussi à quelle intégrale on avait à faire. Celle de tient une des premières places parmi ces intégrales éminemment réfractaires, qui se sont constamment jusqu’ici montrées rebelles à tous les moyens d’intégration connus, sans même en exclure l’emploi des séries infinies. Hinc ergo natura hujus functionis transcendentis parum cognoscitur, dit Euler (Calc. intég., vol. 1, n.o 228).
37. Égalant entre elles la somme des deux formules qui nous ont donné les aires partielles et celle qui nous a donné l’aire totale, on est conduit à cette nouvelle égalité très-remarquable
C’est l’équation de condition ; pour que le point du milieu, ou bien tout autre de nos treize points, se trouve sur la courbe déterminée par les douze autres. Elle est rigoureusement satisfaite, dans le cas où nos treize ordonnées sont égales entre elles : elle est rigoureusement remplie encore dans une infinité d’autres courbes dont il serait trop long de faire ici l’énumération. Elle est remplie, quoiqu’avec une différence presque insensible, lorsque la portion de courbe qui est comprise entre les limites de l’intégrale, est sans asymptote, sans imaginaires, sans point d’inflexion ni de rebroussement ; lorsqu’enfin elle ne s’écarte pas trop de quelque courbe rentrante ; telle que sont les ellipses de différens degrés. Ces sortes d’équation de condition, nouvelles dans l’analise, sont essentielles dans la théorie de l’interpolation ; elles pourront être le sujet d’un mémoire particulier.
38. Troisième formule. En conservant le diviseur général ajoutons aux cinq premiers aliquotes le nombre lui-même. Nous aurons alors et ensuite (13)
