modification consiste à substituer successivement aux trapèzes des rectangles inscrits et des rectangles circonscrits. Cela conduira à deux résultats, l’un plus grand et l’autre plus petit que le véritable, et dont la différence donnera conséquemment la limite de l’erreur dont chacun d’eux se trouvera affecté. À la vérité, toutes choses égales d’ailleurs, ces résultats seront moins approchés que ceux qu’on déduirait de l’usage des trapèzes ; mais il nous paraît qu’on ne doit pas balancer à sacrifier quelque chose du côté de la précision et de la rapidité, lorsqu’il s’agit de remplir une condition sans laquelle aucun procédé approximatif ne saurait être employé avec quelque sécurité. Nous verrons d’ailleurs bientôt que cet inconvénient disparaît presque totalement, par un emploi convenable de la méthode.
Ceci suppose, au surplus, qu’entre les limites de l’intégrale, les ordonnées de la courbe qu’il s’agit de quarrer sont toujours croissantes ou toujours décroissantes ; mais on sait que, dans le cas contraire, on peut toujours décomposer l’intégrale en plusieurs parties telles que, pour chacune d’elles, cette condition se trouve remplie.
Nous appliquerons uniquement ces réflexions au cas où le diviseur général est et ses aliquotes Soient les sept ordonnées équidistantes que, pour fixer les idées, nous supposerons perpétuellement croissantes ; prenons de plus pour unité, comme dans le précédent mémoire ; l’intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes. En considérant les rectangles inscrits dont les bases sont successivement nous aurons, pour la somme de leurs aires,
Si nous passons ensuite aux rectangles circonscrits, nous trouverons les sommes d’aires ainsi qu’il suit
