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NOUVELLE MÉTHODE
revient au même, l’intégrale de
entre
et
en posant
et divisant d’abord l’intervalle en cinq parties égales seulement ; nous aurons
Pour
![{\displaystyle x=0,\quad \,\ {\tfrac {1}{5}},\quad \ {\tfrac {2}{5}},\quad \ {\tfrac {3}{5}},\quad \ {\tfrac {4}{5}},\quad \ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f87590126fcacf2286bbad4f7be7d0105da536)
![{\displaystyle \ \ y=1,\quad {\tfrac {25}{26}},\quad {\tfrac {25}{29}},\quad {\tfrac {25}{34}},\quad {\tfrac {25}{41}},\quad {\tfrac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a24f7d8a993d2d5fc5e31f212ed20eb57807ef7)
Comme ici les ordonnées sont continuellement décroissantes, les rectangles inscrits, auxquels nous nous bornerons, et qui, ayant, pour base commune, auront successivement pour hauteur les cinq dernières ordonnées, seront
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}{\text{Premier}}\ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{26}}&={\tfrac {5}{26}}&=0,1923077,\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{29}}&={\tfrac {5}{29}}&=0,1724138,\\\mathrm {Troisi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{34}}&={\tfrac {5}{34}}&=0,1470588,\\\mathrm {Quatri{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{41}}&={\tfrac {5}{41}}&=0,1219512,\\\mathrm {Cinqui{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {1}{2}}&={\tfrac {1}{10}}&=1,000000.\\\end{array}}\right\}{\text{somme }}=0,6337315.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a36fee9ba828511461a96ddccf2fc543cd16d48)
En multipliant ce résultat par
on obtiendra pour première valeur approchée du nombre ![{\displaystyle \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50d258418b5fa150a86b58f8d5eb40613e3ebf7)
![{\displaystyle \varpi =2,9349260=A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80f458f15a4f1bd6f59c8be5594a0b5fb8cc66d)
Pour obtenir une valeur plus approchée, cherchons-en une suite d’autres qui le soient moins. Soit d’abord divisée l’étendue de l’intégrale en quatre parties égales ; nos quatre rectangles inscrits seront alors tels qu’il suit :
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}{\text{Premier}}\ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {16}{17}}&={\tfrac {4}{17}}&=0,2352941,\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {16}{20}}&={\tfrac {1}{5}}&=0,2000000,\\\mathrm {Troisi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {16}{25}}&={\tfrac {4}{25}}&=0,1600000,\\\mathrm {Quatri{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {1}{2}}&={\tfrac {1}{8}}&=0,1250000.\\\end{array}}\right\}{\text{somme }}=0,7202941.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37710c5b3b16308823929689d30e3aa52e7d36a)
Ce résultat, multiplié par
, donnera pour seconde valeur moins approchée de ![{\displaystyle \varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50d258418b5fa150a86b58f8d5eb40613e3ebf7)