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NOUVELLE MÉTHODE

revient au même, l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}},$ entre $0$ et $1$ en posant $y={\frac {1}{1+x^{2}}},$ et divisant d’abord l’intervalle en cinq parties égales seulement ; nous aurons

Pour $x=0,\quad \,\ {\tfrac {1}{5}},\quad \ {\tfrac {2}{5}},\quad \ {\tfrac {3}{5}},\quad \ {\tfrac {4}{5}},\quad \ 1$

$\ \ y=1,\quad {\tfrac {25}{26}},\quad {\tfrac {25}{29}},\quad {\tfrac {25}{34}},\quad {\tfrac {25}{41}},\quad {\tfrac {1}{2}}.$

Comme ici les ordonnées sont continuellement décroissantes, les rectangles inscrits, auxquels nous nous bornerons, et qui, ayant, pour base commune, auront successivement pour hauteur les cinq dernières ordonnées, seront

$\left.{\begin{array}{lll}{\text{Premier}}\ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{26}}&={\tfrac {5}{26}}&=0,1923077,\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{29}}&={\tfrac {5}{29}}&=0,1724138,\\\mathrm {Troisi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{34}}&={\tfrac {5}{34}}&=0,1470588,\\\mathrm {Quatri{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {25}{41}}&={\tfrac {5}{41}}&=0,1219512,\\\mathrm {Cinqui{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{5}}.{\tfrac {1}{2}}&={\tfrac {1}{10}}&=1,000000.\\\end{array}}\right\}{\text{somme }}=0,6337315.$

En multipliant ce résultat par $4,$ on obtiendra pour première valeur approchée du nombre $\varpi$

$\varpi =2,9349260=A.$

Pour obtenir une valeur plus approchée, cherchons-en une suite d’autres qui le soient moins. Soit d’abord divisée l’étendue de l’intégrale en quatre parties égales ; nos quatre rectangles inscrits seront alors tels qu’il suit :

$\left.{\begin{array}{lll}{\text{Premier}}\ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {16}{17}}&={\tfrac {4}{17}}&=0,2352941,\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {16}{20}}&={\tfrac {1}{5}}&=0,2000000,\\\mathrm {Troisi{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {16}{25}}&={\tfrac {4}{25}}&=0,1600000,\\\mathrm {Quatri{\grave {e}}me} \ldots &{\tfrac {1}{4}}.{\tfrac {1}{2}}&={\tfrac {1}{8}}&=0,1250000.\\\end{array}}\right\}{\text{somme }}=0,7202941.$

Ce résultat, multiplié par $4$, donnera pour seconde valeur moins approchée de $\varpi$