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DE SOLEIL.

${\begin{aligned}A&=q'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\B&=p\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha ,\\C&=p\operatorname {Sin} .\lambda .\\\end{aligned}}$

et enfin, $R^{2}=A^{2}+B^{2}-C^{2}.$ On aura alors

${\begin{array}{ll}\left(A^{2}+B^{2}\right)x&=(BC-AR)c,\\\left(A^{2}+B^{2}\right){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}&=(AC+BR)c.\\\end{array}}$

On pourra remarquer que

$A^{2}+C^{2}=(q'\operatorname {Sin} .\varepsilon +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}+r'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha .$

104. De la coordonnée $x$ en passera facilement aux deux autres $y,z$ (101). On aura de même la distance des centres $f,$ qu’on tirera de l’équation

$A(A-B){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}=(A-x)Bp-(B-x)Af.$

En supprimant ici $x$, dans $A-x$ et $B-y,$ ce que la nature du problème nous permet de faire, on aura, pour valeur suffisamment approchée de $f$ celle qui suit :

$f=p-h{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}=p-{\frac {h(AC+BR)}{A^{2}+B^{2}}}.$

105. Reste donc à déterminer l’angle horaire $\mu ,$ duquel dépend ensuite la longitude du lieu. En reprenant les trois équations (102), et en divisant la seconde par la première, on trouvera

$\operatorname {Tang} .\mu ={\frac {px\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +(q'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon ){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}{px\operatorname {Cos} .\alpha -q'\operatorname {Sin} .\alpha {\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}}$

106. Pour présenter encore les deux termes de cette fraction sous la forme la plus simple, employons les nouvelles notations $a,b,c,$ pour désigner les quantités qui suivent

$a=q'\operatorname {Cos} .\varepsilon -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha ,$