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D’INTEGRATION.

${\begin{aligned}85050(AZ)=&989(a+z)+5888(b+h+k+q+s+y)\\-&928(c+g+l+p+t+x)+10496(d+f+m+o+u+w)\\-&4540(e+n+v)+1978(i+r),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

23. On pourra continuer ainsi pour les formules $\mathrm {IX,X,XI,}$ jusqu’à la douzième qui donnera finalement

${\begin{aligned}2425500(AN)=&53143(a+n)+373014(b+m)\\-&248517(c+l)+1229630(d+k)\\-&1655505(e+i)+2846124(f+h)\\-&277027g,\\4851000(AZ)=&53143(a+z)+373014(b+m+o+y)\\-&248517(c+l+p+x)+1229630(d+k+q+w)\\-&1655505(e+i+r+v)+2846124(f+h+s+u)\\-&2770278(g+t)+106286n\,;\end{aligned}}$

cette dernière se trouve ainsi composée de $24$ trapèzes curvilignes ;

24. On voit que, pour rédiger en assez peu de temps un gros recueil de ces formules intégrales, il n’en coûterait presque que la peine d’écrire. Nous allons faire l’application de celles que nous croyons les plus remarquables, pour déterminer la longueur de l’arc de $45^{\circ }={\tfrac {\varpi }{4}},$ dont la valeur rigoureuse, calculée à douze décimales, est

${\frac {\varpi }{4}}=0{,}7853\ 9816\ 3397.$

Nous avons déjà vu que cet arc est l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},$ prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=1.$ En supposant cet intervalle divisé en $24$ parties égales, et désignant par $a,b,c,\ldots z$ les valeurs numériques correspondantes de la fraction ${\frac {\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},$ depuis la première $1,$ jusqu’à la vingt-cinquième $0{,}5\,;$ on aura la table suivante ;