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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

$\varpi x^{2}\operatorname {d} y=16\varpi r^{2}tu\operatorname {d} z(z-tu)^{2},$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

${\frac {2}{3}}\varpi r^{2}\left\{6tuz\left(3-2u^{2}\right)-3z^{2}\left(3-4u^{2}\right)-u^{2}\left(9-9u^{2}+4u^{4}\right)\right\}.\qquad (bb)$

D’après cela, le volume du corps engendré par la révolution du segment entier $\mathrm {OA'O',}$ autour de $\mathrm {OA} ',$ aura pour expression

${\tfrac {1}{6}}\varpi r^{3}\left(3\varpi ^{2}-16\right)={\tfrac {1}{4}}\mathrm {OA} '.\operatorname {Cerc} .\mathrm {OA} -2Sph.r\,;$

c’est-à-dire, le quart du cylindre engendré par le rectangle $\mathrm {OAO'A'}$ tournant autour de $\mathrm {OA} '$, moins deux sphères ayant même rayon que le cercle générateur. À l’aide de ces résultats on pourra toujours trouver le volume du corps engendré par un segment quelconque de la courbe, tournant autour de $\mathrm {OA}$ ou $\mathrm {OA'}$.

XI. Cherchons le centre de gravité de chacun des quatre segmens $\mathrm {OPM,OQM,O'P'M,O'Q'M}$ ?

Par la règle centrobarique, l’ordonnée du centre de gravité du segment $\mathrm {OPM}$ s’obtiendra en divisant la formule (aa) par la formule (p) multipliée par $2\varpi \,;$ ce qui donnera

${\frac {r\left\{15z-tu\left(15+10u^{2}+8u^{4}\right)\right\}}{6\left\{3z-tu\left(3+2u^{2}\right)\right\}}}.\qquad (cc)$

Par la même règle, l’abscisse du centre de gravité du segment $\mathrm {OQM}$ s’obtiendra en divisant la formule (bb) par la formule (q) multipliée aussi par $2\varpi$ ; ce qui donnera

${\frac {r\left\{3z^{2}\left(3-4u^{2}\right)-6tuz\left(3-2u^{2}\right)+u^{2}\left(9-9u^{2}+4u^{4}\right)\right\}}{3\left\{z\left(3-4u^{2}\right)-tu\left(3-2u^{2}\right)\right\}}}.\qquad (dd)$

Mais on a, quel que soit l’axe des momens,

$Mom.\mathrm {OPM} =Mom.\mathrm {OQMP} -Mom.\mathrm {OQM} ,$

$Mom.\mathrm {OQM} =Mom.\mathrm {OQMP} -Mom.\mathrm {OPM} \,;$

prenant donc respectivement $\mathrm {OQ,OP}$ pour axes des momens, on aura