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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

${\frac {r\left\{3z'+t'u'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)\right\}}{6\left(z'+t'u'\left(1-2t'^{2}\right)\right)}},\qquad (gg)$

${\frac {r\left\{3z'^{2}+6t'u'z'\left(1-2t'^{2}\right)+\left(1-t'^{2}\right)\left(4+7t'^{2}-8t'^{4}\right)\right\}}{3\left\{z'+t'u'\left(1-2t'^{2}\right)\right\}}}.\qquad (hh)$

De là on passera aisément à l’ordonnée et à l’abscisse du 4.^me segment $\mathrm {O'Q'M.}$ On a, quel que soit l’axe des momens,

$Mom.\mathrm {O'Q'M} =Mom.\mathrm {MP'O'Q'} -Mom.\mathrm {MP'O'} \,;$

prenant donc successivement $\mathrm {OP'}$ et $\mathrm {OQ'}$ pour axes des momens, on aura

$Mom.\mathrm {O'Q'M} ={\tfrac {1}{6}}r^{3}\left\{t'u'\left(21-34t'^{2}+16t'^{4}\right)+3z'\left(7-16t'^{2}+8t'^{4}\right)\right\}$

$Mom.\mathrm {O'Q'M} =$

${\tfrac {1}{3}}r^{3}\left\{3z'^{2}\left(3-4t'^{2}\right)+6t'u'z'\left(3-t'^{2}\right)-\left(1-2t'^{2}\right)\left(4-5t'^{2}+4t'^{4}\right)\right\}.$

Divisant enfin ces deux momens par la formule [illisible], on aura, pour l’ordonnée et l’abscisse du centre de gravité du segment $\mathrm {O'Q'M,}$

${\frac {r\left\{3z'\left(7-16t'^{2}+8t'^{4}\right)+t'u'\left(21-34t'^{2}+16t'^{4}\right)\right\}}{6\left\{z'\left(3-4t'^{2}\right)+t'u'\left(3-2t'^{2}\right)\right\}}},\qquad (kk)$

${\frac {r\left\{3z'^{2}\left(3-4t'^{2}\right)+6t'u'z'\left(3-2t'^{2}\right)-\left(1-t'^{2}\right)\left(4-5t'^{2}+4t'^{4}\right)\right\}}{3\left\{z'\left(3-4t'^{2}\right)+t'u'\left(3-2t'^{2}\right)\right\}}}\ (ll)$

M. Poisson a paru penser que les abscisses des centres de gravité de ces segmens ne pouvaient être exprimées que par des séries (Voyez sa Mécanique, tome 1.^er, page 147). Mais on voit, par ce qui précède, qu’on peut toujours avoir exactement, sous forme finie, les deux coordonnées du centre de gravité d’une surface plane quelconque, terminée par des lignes droites et des arcs de cycloïdes.

XII. Cherchons les volumes des corps engendrés par la révolution des deux segmens $\mathrm {O'P'M,O'Q'M}$ autour de $\mathrm {O'P'}$ et $\mathrm {O'Q',}$ respectivement ?

Suivant la règle centrobarique, le volume du premier de ces deux corps, s’obtiendra en multipliant par $2\varpi$ le produit des deux formules (r) et {gg) ; ce volume sera donc