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DE LA CYCLOÏDE.

${\frac {1}{3}}\varpi r^{3}\left\{3z'+t'u'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)\right\}.\qquad (mm)$

Le volume de l’autre corps s’obtiendra, suivant la même règle, multipliant par $2\varpi$ le produit des deux formules (r) et (ll) ; ce volume sera donc

${\tfrac {2}{3}}\varpi r^{3}\left\{3z'^{2}\left(3-4t'^{2}\right)+6t'u'z'\left(3-t'^{2}\right)-\left(1-t'^{2}\right)\left(4-5t'^{2}+4t'^{4}\right)\right\}.\quad (nn)$

On trouvera, d’après cela, pour le volume du corps engendré par $\mathrm {O'A'O,}$ tournant autour de $\mathrm {O'A',}$

${\tfrac {1}{2}}\varpi r^{3}={\tfrac {1}{8}}\mathrm {O'A'} .Cerc.\mathrm {O'O} \,;$

c’est-à-dire, le 8.^me du cylindre circonscrit ; et pour le volume du corps engendré par $\mathrm {O'AO,}$ tournant autour de $\mathrm {O'A,}$

${\tfrac {1}{6}}\varpi r^{3}\left(9\varpi ^{2}-16\right)={\tfrac {3}{4}}\mathrm {AO'} .Cerc.\mathrm {AO} -2Sph.r\,;$

c’est-à-dire, les ${\tfrac {3}{4}}$ du cylindre circonscrit, moins deux sphères ayant même rayon que le cercle générateur. On obtiendra facilement, d’après cela, les volumes des corps engendrés par des segmens quelconques de cycloïdes, tournant autour de $\mathrm {O'A'}$ ou $\mathrm {O'A,}$ ou même autour d’une droite quelconque, puisque (XI) le centre de gravité de l’aire de ce segment sera assignable.

XIII. Cherchons les centres de gravité des corps engendrés par la révolution des deux segmens $\mathrm {OPM,OQM,}$ tournant autour de $\mathrm {OP}$ et $\mathrm {OQ}$ respectivement ?

L’élément du premier de ces deux corps étant $\varpi y^{2}\operatorname {d} x,$ le moment de cet élément, par rapport au plan conduit par $\mathrm {O} ,$ perpendiculairement à l’axe, sera

$\varpi xy^{2}\operatorname {d} x=32\varpi r^{4}u^{6}\operatorname {d} z(z-tu),$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

${\tfrac {1}{9}}\varpi r^{4}\left\{45z^{2}-6tuz\left(15+10u^{2}+8u^{4}\right)+u^{2}\left(45+15u^{2}+8u^{4}-36u^{6}\right)\right\}\,;$

divisant donc par la formule {aa), on aura, pour la distance du point $\mathrm {O}$ au centre de gravité de ce volume,