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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

${\frac {r\left\{45z^{2}-6tuz\left(15+10u^{2}+8u^{4}\right)+u^{2}\left(45+15u^{2}+8u^{4}-36u^{6}\right)\right\}}{3\left\{15z-tu\left(15+10u^{2}+8u^{4}\right)\right\}}}.(pp)$

En conséquence, s’il s’agit de la distance du point $\mathrm {O}$ au centre de gravité du corps engendré par $\mathrm {OAO',}$ on trouvera pour son expression

$r.{\frac {45\varpi ^{2}+128}{180\varpi }}.$

L’élément du second de ces deux corps étant $\varpi x^{2}.\operatorname {d} y,$ le moment de cet élément, par rapport au plaa conduit par $\mathrm {O}$ perpendiculairement à l’axe, sera

$\varpi x^{2}y\operatorname {d} y=32\varpi r^{2}tu^{3}(z-tu)^{2},$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

${\tfrac {1}{9}}\varpi r^{4}\left\{6tuz\left(15+10u^{2}s-16u^{4}\right)-9z^{2}\left(5-8u^{4}\right)\right.$

$\left.-u^{2}\left(45+15u^{2}-64u^{4}+36u^{6}\right)\right\}$

divisant donc par la formule (bb), on aura, pour la distance du point $\mathrm {O}$ au centre de gravité de ce volume

${\tfrac {r\left\{9z^{2}\left(5-8u^{4}\right)-6tuz\left(15+10u^{2}-16u^{4}\right)+u^{2}\left(45+15u^{2}-64u^{4}+36u^{6}\right)\right\}}{6\left\{3z^{2}\left(3-4u^{2}\right)-6tuz\left(3-2u^{2}\right)+u^{2}\left(9-9u^{2}+4u^{4}\right)\right\}}}.\quad (qq)$

En conséquence, s’il s’agit de la distance du point $\mathrm {O}$ au centre de gravité du corps engendré par $\mathrm {OA'O',}$ on trouvera pour son expression

${\frac {r}{6}}.{\frac {27\varpi ^{2}-128}{3\varpi ^{2}-16}}.$

On voit, d’après ce qui précède, qu’il sera toujours facile de déterminer le centre de gravité du corps engendré par un segment quelconque de la courbe, tournant autour de $\mathrm {OA}$ ou $\mathrm {OA'} .$

XIV. Cherchons enfin les centres de gravité des corps engendrés par la révolution des deux segmens $\mathrm {O'MP',O'MQ'} ,$ tournant autour de $\mathrm {O'P'}$ et $\mathrm {O'Q',}$ respectivement ?

L’élément du premier de ces deux corps étant $\varpi y'^{2}\operatorname {d} x'$ le moment de cet élément, par rapport au plan conduit par $\mathrm {O} '$ perpendiculairement à l’axe, sera