Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/14

10

MOUVEMENT

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\mu x}{r}}+Bz'-Cy'=D,\\&{\frac {\mu y}{r}}+Cx'-Az'=E,\\&{\frac {\mu z}{r}}+Ay'-Bx'=F\,;\\\end{aligned}}\right\}(39)$

$D,E,F$ étant trois nouvelles constantes.

En prenant la somme des produits respectifs des équations (39) par $A,B,C$ et réduisant ; il vient

$AD+BE+CF={\frac {\mu }{r}}(Ax+By+Cz)\,;\qquad$(40)

mais, en vertu des équations (33),

$Ax+By+Cz=0\,;\qquad$(41)

donc aussi

$AD+BE+CF=0.\qquad$(42)

Nos six constantes se trouvent donc liées entre elles par une équation de relation ; d’où il suit que les intégrales premières auxquelles elles appartiennent n’équivalent qu’à cinq seulement ; et qu’ainsi nous avons encore une intégrale et une constante à obtenir : voici comment on parvient à l’une et à l’autre.

En prenant la somme des produits respectifs des équations (28) par $2x',2y',2z',$ l’équation résultante peut être mise sous cette forme

$\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)'=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)'=-{\frac {\mu }{r^{3}}}.\left(r^{2}\right)'=-{\frac {2\mu r'}{r^{2}}}=2\left({\frac {\mu }{r}}\right)'\,;$ (43)

d’où, en intégrant,

$x'^{2}+y'^{2}+z^{2}={\frac {2\mu }{1}}-{\frac {\mu }{a}}\,;\qquad$(44)

$a$ étant une nouvelle constante.