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MOUVEMENT
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\mu x}{r}}+Bz'-Cy'=D,\\&{\frac {\mu y}{r}}+Cx'-Az'=E,\\&{\frac {\mu z}{r}}+Ay'-Bx'=F\,;\\\end{aligned}}\right\}(39)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6277b4d7988b1a18b319288040ce62822ce93bce)
étant trois nouvelles constantes.
En prenant la somme des produits respectifs des équations (39)
par
et réduisant ; il vient
![{\displaystyle AD+BE+CF={\frac {\mu }{r}}(Ax+By+Cz)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc9f1641a11bf0142f2ba2925c4a3dc9c613636)
(40)
mais, en vertu des équations (33),
![{\displaystyle Ax+By+Cz=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd51ddd7a92077cd60c84d446b4c91a758a3601f)
(41)
donc aussi
![{\displaystyle AD+BE+CF=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d44d4570fb366144b539d2ce821e7286273760)
(42)
Nos six constantes se trouvent donc liées entre elles par une équation de relation ; d’où il suit que les intégrales premières auxquelles elles appartiennent n’équivalent qu’à cinq seulement ; et qu’ainsi nous avons encore une intégrale et une constante à obtenir : voici comment on parvient à l’une et à l’autre.
En prenant la somme des produits respectifs des équations (28)
par
l’équation résultante peut être mise sous cette forme
(43)
d’où, en intégrant,
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z^{2}={\frac {2\mu }{1}}-{\frac {\mu }{a}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599f8270c8d9e30b6e80526fffc5faffaa8f43eb)
(44)
étant une nouvelle constante.