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MOUVEMENT

Les équations (3) donnent d’abord, comme nous l’avons déjà vu,

$Ax+By+Cz=0\,;\qquad$(41)

équation d’un plan, qui est conséquemment celui de l’orbite, puisque $t$ n’y entre pas.

Pour déterminer entièrement la figure de l’orbite, il nous faut encore une équation indépendante de $t.$ Or, en prenant la somme des produits respectifs des équations (39) par $x,y,z,$ il vient, en ayant égard aux équations (29), (33) et (45)

$Dx+Ey+Fz=\mu r-G^{2}\,;\qquad$(47)

équation qui, combinée avec l’équation (41), détermine complètement la figure et la situation de l’orbite.

On reconnaîtra, au surplus, la surface (47) pour une surface de révolution dont l’axe, situé sur le plan (41), est donné par la double équation

${\frac {x}{D}}={\frac {y}{E}}={\frac {z}{F}}.\qquad$(48)

L’orbite étant ainsi déterminée, on peut désirer de connaître la situation de la ligne des apsides, ainsi que les deux distances aphélie et périhélie. Or, la propriété de ces deux distances c’est que $r$ y devient maximum ou minimum. Différentiant donc sous ce point de vue les équations (29, 41, 47), il viendra

$\left.{\begin{aligned}xx'+yy'+zz'&=0,\\Ax'+By'+Cz'&=0,\\Dx'+Ey'+Fz'&=0,\\\end{aligned}}\right\}$(49)

En éliminant entre ces équations deux quelconques de vitesses $x',y',z',$ la troisième disparaît d’elle-même, et on obtient l’équation

$(BF-CE)x+(CD-AF)y+(AE-BD)z=0.\quad$(50)

c’est donc là l’équation d’un plan qui contient la ligne des apsides ; et, comme l’équation (41) est celle d’un plan qui la contient éga-