Nos trois premières droites se coupent donc en un même point (2), et les trois dernières en un autre point (3). Il est de plus aisé de voir que le point (2) comme le point (3) est sur la droite (1) ; ainsi le théorème est complètement démontré.
Remarque. Il est aisé de voir qu’en supposant, dans les équations (3), , elles deviennent celles du centre de gravité du volume de tétraèdre ; et, comme on a alors
il s’ensuit que ce point est situé au milieu de la droite qui joint les milieux des deux arêtes opposées quelconques. C’est aussi ce qui a été démontré, d’une autre manière, par M. Monge, dans la Correspondance sur l’école polytechnique, (tom. II, pag. 1).
Si l’on fait une projection de notre tétraèdre sur un plan quelconque, les projections des milieux des arêtes, et des centres de gravité des aires des faces seront les milieux et les centres de gravité des projections de ces arêtes et de ces faces ; et les projections des points en ligne droite seront situées sur les projections de ces droites. On peut donc, de notre théorème, déduire comme corollaire la proposition suivante.
Corollaire. Lorsque deux triangles, tracés sur un même plan, ont les côtés parallèles, chacun à chacun, les droites qui joignent les sommets de l’un d’eux aux milieux des côtés respectivement opposés dans l’autre, se coupent en un même point situé en ligne droite avec les centres de gravité des aires de ces triangles et leur centre de similitude.
THÉORÈME III. Si trois droites partant des sommets d’un triangle concourent en un même point, leurs parallèles respectives partant des milieux des côtés opposés concourront aussi en un même point, et réciproquement. En outre, la droite qui joindra ces deux points contiendra le centre de gravité de l’aire du triangle, lequel la divisera en deux parties, dont l’une sera double de l’autre.
Démonstration. Soient les trois sommets du triangle,
