Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/181

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

175

DE RÉVOLUTION.

se trouve comportée par les deux autres. Malheureusement, outre que cette manière de parvenir aux conditions cherchées, qui suppose d’ailleurs la connaissance préalable de l’équation (4), est assez laborieuse, il n’est point commode d’en déduire les équations de l’axe de révolution^[1].

↑ Ces inconvéniens n’ont point échappé à M. Bérard ; car, dans un mémoire inédit qu’il m’a communiqué, au commencement de 1816, il présente cette recherche sous un point de vue un peu différent. Voici, en dernière analise, à quoi son procédé se réduit.
En supposant, pour plus de simplicité, la surface rapportée à son centre, ce qui ne change rien au fond de la recherche dont il s’agit, et en représentant son équation par
$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=E\,;\qquad$ (1)

il a été démontré (tom. VI, pag. 168) que

$x=mz,\qquad y=nz,\qquad$ (2)

étant les équations d’un diamètre principal, on devait avoir

$\left.{\begin{alignedat}{2}&(Ar^{2}-E)m&+&(B'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\beta )&+(C'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\gamma )n&=&0,\\&(Br^{2}-E)n\;&+&(C'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\gamma )m&+(A'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\alpha )&=&0,\\&(Cr^{2}-E)&+&(A'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\alpha )n&+(B'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\beta )m&=&0,\end{alignedat}}\right\}\quad (3)$

équations dans lesquelles $r$ exprime la longueur de la moitié du diamètre. Si on élimine $r^{2}$ entre elles, ce qui conduira à deux équations de la forme

$\left.{\begin{alignedat}{1}am^{2}\ +bmn\ +cn^{2}\ +dm\ +en\ +f\ \,&=0,\\a'm^{2}+b'mn+c'n^{2}+d'm+e'n+f'&=0,\end{alignedat}}\right\}\quad (4)$

et qu’on élimine ensuite $n$ entre ces deux-ci, on obtiendra une équation finale

[p181-1] Ces inconvéniens n’ont point échappé à M. Bérard ; car, dans un mémoire inédit qu’il m’a communiqué, au commencement de 1816, il présente cette recherche sous un point de vue un peu différent. Voici, en dernière analise, à quoi son procédé se réduit.
En supposant, pour plus de simplicité, la surface rapportée à son centre, ce qui ne change rien au fond de la recherche dont il s’agit, et en représentant son équation par
$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=E\,;\qquad$ (1)

il a été démontré (tom. VI, pag. 168) que

$x=mz,\qquad y=nz,\qquad$ (2)

étant les équations d’un diamètre principal, on devait avoir

$\left.{\begin{alignedat}{2}&(Ar^{2}-E)m&+&(B'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\beta )&+(C'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\gamma )n&=&0,\\&(Br^{2}-E)n\;&+&(C'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\gamma )m&+(A'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\alpha )&=&0,\\&(Cr^{2}-E)&+&(A'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\alpha )n&+(B'r^{2}-E\operatorname {Cos} .\beta )m&=&0,\end{alignedat}}\right\}\quad (3)$

équations dans lesquelles $r$ exprime la longueur de la moitié du diamètre. Si on élimine $r^{2}$ entre elles, ce qui conduira à deux équations de la forme

$\left.{\begin{alignedat}{1}am^{2}\ +bmn\ +cn^{2}\ +dm\ +en\ +f\ \,&=0,\\a'm^{2}+b'mn+c'n^{2}+d'm+e'n+f'&=0,\end{alignedat}}\right\}\quad (4)$

et qu’on élimine ensuite $n$ entre ces deux-ci, on obtiendra une équation finale

[1]