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SURFACES

On a lieu d’être surpris qu’aucun des géomètres qui se sont occupés de cette question, n’ait songé à y appliquer la transformation des coordonnées qui, comme on va le voir, dans le cas même des coordonnées obliques, conduit au but d’une manière

en $m$ qui sera du troisième degré seulement et qui répondra aux trois directions qu’un diamètre principal peut avoir.

Si la surface est de révolution, l’une de ces directions doit être celle de l’axe, et les deux autres doivent demeurer indéterminées ; il faut donc alors que cette équation du 3.^e degré s’anéantisse d’elle-même, c’est-à-dire, que ces quatre coefficiens doivent être égalés à zéro.

Mais les quatre équations de relation qu’on obtient ainsi peuvent être remplacées avec avantage par deux autres seulement. Pour obtenir celles-ci, on remarquera que, dans le cas dont il s’agit, pour que les équations (4) ne conduisent qu’à un seul système de valeurs de $m$ et $n,$ il faut quelles admettent un facteur commun, fonction de premier degré de ces deux quantités. Posant donc

${\begin{alignedat}{1}m^{2}+{\frac {b}{a}}mn\;+{\frac {c}{a}}n^{2}\ +{\frac {d}{a}}m\;+{\frac {e}{a}}n\ +{\frac {f}{a}}\ \,&=(m+pn+q)(m+\alpha n+\beta ),\\m^{2}+{\frac {b'}{a'}}mn+{\frac {c'}{a'}}n^{2}+{\frac {d'}{a'}}m+{\frac {e'}{a'}}n+{\frac {f'}{a'}}&=(m+pn+q)(m+\alpha 'n+\beta ')\,;\end{alignedat}}$

et exprimant séparément que chacune de ces équations est identique, on aura, d’une part, cinq équations entre $p,q,\alpha ,\beta ,$ et d’une autre, cinq équations entre $p,q,\alpha ',\beta ',$ faisant donc, de part et d’autre, l’élimination de ces quatre inconnues, on obtiendra les deux équations de condition cherchées.

Le calcul nécessaire pour effectuer cette élimination conduira aux valeurs de $\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta '.$ Résolvant alors les deux équations

$m+\alpha n+\beta =0,\qquad m+\alpha 'n+\beta '=0,$

elles feront connaître les valeurs de $m$ et $n$ qui conviennent ; à l’axe de révolution.

Tout cela est très-exact ; mais nous pensons que le procédé que l’on vai exposer pourra peut-être paraître un peu plus simple et plus symétrique.

J. D. G.