de toutes les projections orthogonales d’une même courbe, sur des plans conduits par sa tangente en ce point sont tous situés sur une même droite, perpendiculaire au plan osculateur mené à la courbe primitive par ce même point
Démonstration. Considérons l’un des cylindres projetans de la courbe proposée, ainsi que la sphère ayant pour grand cercle le cercle osculateur de la projection, base de ce cylindre. Ces deux surfaces auront, suivant la tangente en un contact du second ordre ; d’où il résulte (Dévelop. de géom. pag. 36) que tout plan conduit par cette tangente, et conséquemment le plan osculateur, coupera la sphère et le cylindre suivant deux courbes ayant de même entre elles un contact du second ordre ; mais ce dernier plan coupe la sphère suivant un cercle ; donc ce cercle est le cercle osculateur de la courbe primitive en et conséquemment le centre de la sphère, centre de courbure de la projection, est aussi un des centres de courbure de la courbe primitive. Les centres de courbure de toutes les projections se trouvent donc être ainsi les centres d’une suite de sphères passant toutes par le cercle osculateur de la courbe primitive ; ces centres sont donc sur une même droite perpendiculaire au plan de ce cercle et passant par son centre.
PROBLÈME. Construire le plan osculateur et le centre de courbure d’une courbe donnée en un point donné ?
Solution. I.er Cas. Supposons d’abord que la courbe soit projetée orthogonalement sur deux plans quelconques, passant par sa tangente en on verra sur-le-champ, par ce qui précède :
1.o Que la droite joignant les centres de courbure des deux projections en sera, pour ce même point, le lieu des centres de courbure ;
2.o Que le plan conduit par perpendiculairement à cette droite, sera le plan osculateur de la courbe en
3.o Enfin, que l’intersection de ce plan et de cette droite sera le centre de courbure de la courbe, pour le même point
Il n’est pas difficile de voir, d’après cela, ce qu’il y aurait à
