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GÉOMÉTRIQUES.

Supposons le problème résolu. Considérons le parallélogramme $\mathrm {BNXR} \,;$ $\mathrm {RQ}$ sera égal à $\mathrm {NQ} \,;$ la droite $\mathrm {BXY}$ sera donc conjuguée à $\mathrm {RN} ,$ et à sa parallèle $\mathrm {EF} \,;$ la figure $\mathrm {BFYE}$ sera donc aussi un parallélogramme. Cela posé, on aura les proportions ${\frac {\mathrm {EY} }{\mathrm {FC} }}={\frac {\mathrm {MY} }{\mathrm {MC} }},\ {\frac {\mathrm {EG} }{\mathrm {FY} }}={\frac {\mathrm {MG} }{\mathrm {MY} }},\ {\frac {\mathrm {EY} }{\mathrm {FC} }}={\frac {\mathrm {EG} }{\mathrm {FY} }}$; en les multipliant entre elles, et observant que $\mathrm {EY=BF} ,$ il viendra

${\frac {{\overline {\mathrm {BF} }}^{2}}{{\overline {\mathrm {FC} }}^{2}}}={\frac {\mathrm {MG} }{\mathrm {MC} }}\,;$

en joignant à cette proportion l’équation $\mathrm {BF+FC=BC} ,$ on aura tout ce qu’il faut pour déterminer $\mathrm {BF}$ et $\mathrm {FC}$ et conséquemment le point $\mathrm {F} \,;$ on connaîtra donc les directions $\mathrm {MF}$ et $\mathrm {NR,}$ qui pourront être prises pour celle des diamètres de la parabole. Le problème de la détermination du point $\mathrm {F}$ aura deux solutions ; mais en les adoptant successivement, en ne fera que passer de la direction $\mathrm {EF}$ à la direction $\mathrm {BY} ,$ ainsi que cela doit être.

PROBLÈME III. Trouver les conditions nécessaires pour que trois plans se coupent suivant une même droite ?

Solution. En supposant que les équations de ces trois plans sont

$\left.{\begin{alignedat}{1}a\,\ x+b\,\ y+c\ \ z+d\,\ &=0.\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'\,&=0.\\a''x+b''y+c''z+d''&=0.\end{alignedat}}\right\}\quad$(1)

on parviendra aux conditions cherchées, en exprimant que la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs $m,m'$ est la même que la troisième ; on obtiendra ainsi les quatre équations