Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/268

260

RÉSOLUTION

sont les trois racines de la proposée, en y remettant pour $m$ et $n$ les quantités connues dont elles sont les symboles.

2. Comme, jusqu’à présent, on n’a pu parvenir à résoudre les équations du quatrième degré sans l’intermédiaire d’une réduite ; nous allons, pour une plus grande uniformité, chercher la réduite qui répond à l’équation du troisième degré.

D’après ce qui précède, il est aisé de voir que

$q={\frac {y^{3}-yz^{2}}{2^{2}}}=2.{\frac {3^{3}y^{3}-3^{3}yz^{2}}{2^{3}.3^{3}}}=\left\{{\frac {3y+z{\sqrt {-3}}}{2.3}}\right\}^{3}+\left\{{\frac {3y-z{\sqrt {-3}}}{2.3}}\right\}^{3}\,;$

$p={\frac {-3y^{2}-z^{2}}{2^{2}}}=-3.{\frac {3^{2}y^{2}+3z^{2}}{2^{2}.3^{2}}}=-3\left\{{\frac {3y+z{\sqrt {-3}}}{2.3}}\right\}\left\{{\frac {3y-z{\sqrt {-3}}}{2.3}}\right\}.$

d’où

$-{\tfrac {1}{27}}p^{3}=\left\{{\frac {3y+z{\sqrt {-3}}}{2.3}}\right\}^{3}\left\{{\frac {3y-z{\sqrt {-3}}}{2.3}}\right\}^{3}\,;$

faisant donc

${\frac {3y+z{\sqrt {-3}}}{2.3}}=s,\qquad {\frac {3y-z{\sqrt {-3}}}{2.3}}=t,$

on aura

$s^{3}+t^{3}=q,\qquad s^{3}t^{3}=-{\tfrac {1}{27}}p^{3}\,;$

d’où la réduite

$s^{6}-qs^{3}-{\tfrac {1}{27}}p^{3}=0,$

et les valeurs

$m^{3}={\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}},$

$n^{3}={\tfrac {1}{2}}q-{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}},$

qui, toutes deux, sont les racines de la réduite, considérée comme équation du second degré. Après quoi le calcul s’achève comme ci-dessus, avec les deux équations qui donnent $m$ et $n,$ c’est-à-dire ici $s$ et $t,$ en fonction de $y$ et $z.$