Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/269

261

DES ÉQUATIONS.

On a donc ainsi les racines de la proposée, en fonction des racines de la réduite.

3. On trouve, d’après ce qui précède,

${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}=\pm {\tfrac {(b-c)\left[2(b+c)^{2}+bc\right]{\sqrt {-3}}}{2.3^{2}}}=\mp {\tfrac {(b-c)(c-a)(a-b){\sqrt {-3}}}{2.3^{2}}}.$

Cette expression remarquable, qui montre que $27q^{2}+4p^{3}$ doit être le dernier terme de l’équation aux quarrés des différences des racines de la proposée, prouve évidemment que, lorsque les trois racines $a,b,c$ de la proposée sont réelles, leurs expressions, en fonction des coefficiens, doivent être compliquées d’imaginaires ; propriété qui est réciproque, ainsi que nous le dirons plus loin ; elle montre aussi que l’équation ${\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}=0$ exprime la condition d’égalité entre deux racines de la proposée.

4. On trouve encore

${\begin{alignedat}{2}s=&{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}}}=&m&={\frac {-3a+(b-c){\sqrt {-3}}}{2.3}},\\s=&{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}}}=&{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}m&={\frac {-3b+(c-a){\sqrt {-3}}}{2.3}},\\s=&{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}}}=&{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}m&={\frac {-3c+(a-b){\sqrt {-3}}}{2.3}}\,;\end{alignedat}}$

et telles sont les expressions, très-symétriques, des trois racines cubiques de $s^{3}={\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}.$

En y changeant le signe de ${\sqrt {-3}},$ ce qui changera aussi $m$ en $n$, on aura les expressions analogues des trois racines cubes de $t^{3}={\tfrac {1}{2}}q-{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}.$

On a donc les racines de la réduite en fonction des racines de