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DES ÉQUATIONS.
On a donc ainsi les racines de la proposée, en fonction des racines de la réduite.
3. On trouve, d’après ce qui précède,
![{\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}=\pm {\tfrac {(b-c)\left[2(b+c)^{2}+bc\right]{\sqrt {-3}}}{2.3^{2}}}=\mp {\tfrac {(b-c)(c-a)(a-b){\sqrt {-3}}}{2.3^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baee85c417197baa0eb58dad9b0328272a0c30ae)
Cette expression remarquable, qui montre que
doit être le dernier terme de l’équation aux quarrés des différences des racines de la proposée, prouve évidemment que, lorsque les trois racines
de la proposée sont réelles, leurs expressions, en fonction des coefficiens, doivent être compliquées d’imaginaires ; propriété qui est réciproque, ainsi que nous le dirons plus loin ; elle montre aussi que l’équation
exprime la condition d’égalité entre deux racines de la proposée.
4. On trouve encore
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}s=&{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}}}=&m&={\frac {-3a+(b-c){\sqrt {-3}}}{2.3}},\\s=&{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}}}=&{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}m&={\frac {-3b+(c-a){\sqrt {-3}}}{2.3}},\\s=&{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}}}=&{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}m&={\frac {-3c+(a-b){\sqrt {-3}}}{2.3}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ceafb197e7892d892528261147c20f147933e50)
et telles sont les expressions, très-symétriques, des trois racines cubiques de ![{\displaystyle s^{3}={\tfrac {1}{2}}q+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec99e944dd3aae20d5e8ae3d958d91fb171b035f)
En y changeant le signe de
ce qui changera aussi
en
, on aura les expressions analogues des trois racines cubes de
On a donc les racines de la réduite en fonction des racines de