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RÉSOLUTION

la proposée. Lagrange n’y est arrivé que par le calcul différentiel, et d’une manière plus longue^[1].

5. De là il suit que l’expression de l’une quelconque des trois racines de la proposée les comprend toutes ; car l’expression

$x=s+t$

donne, par la substitution des valeurs de $s$ et $t,$ en fonction de $a,b,c$

$x=a,\qquad x=b,\qquad x=c\,;$

et il en serait de même de chacune des deux autres expressions

$x={\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}s+{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}t,$

$x={\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}s-{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}t\,;$

pourvu qu’on eût soin de ne combiner ensemble que des valeurs de $s$ et $t$ telles que $st=-{\tfrac {1}{3}}p,$ ainsi que cela doit être (2).

6. Comme on a $s^{3}t^{3}=-{\tfrac {1}{27}}p^{3},$ ce qui donne

$st=-{\tfrac {1}{3}}p,\quad st=-{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}.{\frac {1}{3}}p,\qquad st=-{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.{\frac {1}{3}}p\,;$

il s’ensuit que la méthode résout, non seulement l’équation proposée

$x^{3}+px+q=0,$

dont les racines sont

$x=a,\qquad x=b,\qquad x=c\,;$

mais encore l’équation conjuguée

1. Ce n’est presque pas la peine de dire que Lagrange se sert du calcul différentiel en cet endroit ; il ne l’emploie que par pure élégance ; et l’usage qu’il en fait pourrait facilement être suppléé par le théorème des racines égales.
   J. D. G.