268
RÉSOLUTION
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}l\ \ =\pm (a+b)=\mp (c+d),&l\ \ =\mp (a+b)=\pm (c+d),\\m=\pm (a+c)=\mp (b+d),&m=\mp (a+c)=\pm (b+d),\\n\,\ =\pm (b+c)=\mp (a+d),&n\,\ =\mp (b+c)=\pm (a+d).\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ffd0337b554e0bc63c6545b6e19b18f4cfd31a)
On a donc les racines de la réduite, en fonction des racines de la proposée.
4. Observons que la première expression
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c9aa51a11d1a42ca3f38cd56b0659d4f63df0)
des quatre racines de la proposée, comprend tacitement
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}y-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2def6d71285bf4122d870b4ac8962e2f134a1f1d)
Or si, dans la formule
![{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}y\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c83cf1c8c40bf7f73d44a291c6d1951e6ccb4b)
on substitue les valeurs de
et de
comme on l’a fait (Art. 2) ; et que, de plus, on prenne successivement pour
les six valeurs
![{\displaystyle y=\pm l,\qquad y=\pm m,\qquad y=\pm n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f823b5de018b1975562b58ae1ef1ce09938190)
on trouvera
![{\displaystyle x=a,\qquad x=b,\qquad x=c,\qquad x=d\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ef7631bf430c79f17b12f34b1345e63f3c4e18)
d’où l’on voit que la première des quatre formules des racines de la proposée les comprend toutes ; et il en est de même de chacune des trois autres. Ainsi ; une quelconque des expressions des quatre racines de la proposée les comprend toutes.
5. Comme on a
, il est aisé de voir que la méthode résout, non seulement l’équation proposée
![{\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b968d2c032254e206c94c64ce4372320ed13f91)
dont les racines sont