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RÉSOLUTION

${\begin{array}{ll}l\ \ =\pm (a+b)=\mp (c+d),&l\ \ =\mp (a+b)=\pm (c+d),\\m=\pm (a+c)=\mp (b+d),&m=\mp (a+c)=\pm (b+d),\\n\,\ =\pm (b+c)=\mp (a+d),&n\,\ =\mp (b+c)=\pm (a+d).\\\end{array}}$

On a donc les racines de la réduite, en fonction des racines de la proposée.

4. Observons que la première expression

$x={\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},$

des quatre racines de la proposée, comprend tacitement

$x={\tfrac {1}{2}}y-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}}.$

Or si, dans la formule

$x={\tfrac {1}{2}}y\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},$

on substitue les valeurs de $-2p$ et de $q,$ comme on l’a fait (Art. 2) ; et que, de plus, on prenne successivement pour $y$ les six valeurs

$y=\pm l,\qquad y=\pm m,\qquad y=\pm n,$

on trouvera

$x=a,\qquad x=b,\qquad x=c,\qquad x=d\,;$

d’où l’on voit que la première des quatre formules des racines de la proposée les comprend toutes ; et il en est de même de chacune des trois autres. Ainsi ; une quelconque des expressions des quatre racines de la proposée les comprend toutes.

5. Comme on a $lmn=\pm q$, il est aisé de voir que la méthode résout, non seulement l’équation proposée

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0,$

dont les racines sont