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DES ÉQUATIONS.

$x=a,\qquad x=b,\qquad x=c,\qquad x=d\,;$

mais encore l’équation conjuguée

$x^{4}+px^{2}-qx+r=0,$

dont les racines sont

$x=-a,\qquad x=-b,\qquad x=-c,\qquad x=-d.$

6. Si les racines de la proposée se présentent sous une forme embarrassée d’imaginaires, ce qui arrive si les racines de la réduite, considérée comme équation du troisième degré, sont, ou toutes trois réelles et positives, ou toutes trois réelles et une seule positive ; on sait que, dans le premier cas, elles sont toutes réelles, et, dans le second, toutes imaginaires^[1]. Voici une démonstration directe et rigoureuse de la réalité des racines dans le premier cas.

Si les racines $l^{2},m^{2},n^{2},$ de la réduite, considérée comme équation du troisième degré, sont réelles et positives, les racines, $l,m,n$ de cette même réduite, considérée comme équation du sixième degré, sont aussi réelles. Donc, puisqu’on a

$a=\pm {\tfrac {+l+m-n}{2}},\quad b=\pm {\tfrac {+l-m+n}{2}},\quad c=\pm {\tfrac {-l+m+n}{2}},\quad d=\pm {\tfrac {-l-m-n}{2}}$

les racines $a,b,c,d$ de la proposée sont toutes réelles.

Cette démonstration de la réalité des quatre racines, dans le cas irréductible, est très-simple et déjà connue. Je ne l’ai reproduite ici que pour conserver l’analogie entre le troisième et le quatrième degré.

1. Cependant, deux d’entre elles deviendront réelles, si l’on a $l=m,$ ou $l=n,$ ou $m=n.$
   (Note de l’auteur.)