Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/385

375

QUESTIONS RÉSOLUES.

$\left.{\begin{aligned}&x=a-m.{\frac {c-pa-qb}{1-pm-qn}},\\&y=b-n\ .{\frac {c-pa-qb}{1-pm-qn}},\\&z=c-\quad \ \ {\frac {c-pa-qb}{1-pm-qn}}.\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

Si donc on veut que la droite (4) soit une génératrice du cône, il faudra que ces coordonnées satisfassent à l’équation de la sphère (3), ce qui donnera

$\left\{a-\alpha -m.{\tfrac {c-pa-qb}{1-pm-qn}}\right\}^{2}+\left\{b-\beta -n.{\tfrac {c-pa-qb}{1-pm-qn}}\right\}^{2}$

$+\left\{c-\gamma -{\tfrac {c-pa-qb}{1-pm-qn}}\right\}^{2}=r^{2}\,;$

ou, en développant et rassemblant les termes de même nature

$\left\{(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}-r^{2}\right\}$

$-2\left\{m(a-\alpha )+n(b-\beta )+(c-\gamma )\right\}.{\frac {c-pa-qb}{1-pm-qn}}$

$+\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\left\{{\frac {c-pa-qb}{1-pm-qn}}\right\}^{2}=0.$

ou encore

$\left.{\begin{array}{lc}&\left\{(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}-r^{2}\right\}(1-pm-qn)^{2}\\&-2\left\{m(a-\alpha )+n(b-\beta )+(c-\gamma )\right\}(c-pa-qb)(1-pm-qn)\\&+(c-pa-qb)^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)=0.\end{array}}\right\}(6)$