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RECHERCHES

$\mathrm {BC} =b,\mathrm {CD} =c,\mathrm {DA} =d\,;$ et soit $k^{2}$ le quarré donné. Tout se réduit évidemment à trouver l’une des deux diagonales, $\mathrm {AC}$ par exemple. Nommons $x$ cette diagonale ; nous aurons

$Aire\ \mathrm {ABC} ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2a^{2}x^{2}+2b^{2}x^{2}+2a^{2}b^{2}-x^{4}-a^{4}-b^{4}}},$

$Aire\ \mathrm {ADC} ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2c^{2}x^{2}+2d^{2}x^{2}+2c^{2}d^{2}-x^{4}-c^{4}-d^{4}}}\,;$

ajoutant donc ces deux équations, multipliant par 4 et ayant égard à la condition du problème, il viendra

${\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}-x^{4}}}+{\sqrt {2\left(c^{2}+d^{2}\right)x^{2}-\left(c^{2}-d^{2}\right)^{2}-x^{4}}}=4k^{2}\,;$

équation qui doit donner $x.$

En chassant les radicaux, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a'^{2},\\&a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=b'^{2},\\&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}=c'^{2},\\&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=d'^{2},\\\end{aligned}}$

il viendra

$4\left(16k^{4}+b'^{4}\right)x^{4}-4\left(16a'^{2}k^{4}-b'^{2}c'^{2}d'^{2}\right)x^{2}+\left(16k^{4}+c'^{4}\right)\left(16k^{4}+d'^{4}\right)=0\,;$

équation du quatrième degré qui se résout à la manière du second^[1].

Ce problème conduit naturellement au suivant :

1. On peut obtenir bien simplement l’angle des deux diagonales du quadrilatère. Soit $\mathrm {O}$ leur intersection. Faisons
   $\mathrm {OA} =\alpha ,\quad \mathrm {OB} =\beta ,\quad \mathrm {OC} =\gamma ,\quad \mathrm {OD} =\delta$
   $Ang.\mathrm {AOB} =Ang.\mathrm {COD} =\theta ,$ d’où $Ang.\mathrm {BOC} =Ang.\mathrm {DOA} =\varpi -\theta .$

   nous aurons