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DES QUADRATURES.

« Je regarde sur-tout comme l’une des plus défectueuses (méthodes d’approximation) celle qui suppose que l’ordonnée de la courbe est représentée, dans toute son étendue, par la formule $y=a+bx+cx^{2}+\ldots ,;$ ou par une formule équivalente ; car, de ce qu’une courbe passe par un grand nombre de points d’une courbe donnée, il ne s’ensuit pas que les deux courbes soient fort approchées l’une de l’autre ; il peut arriver, au contraire, que les deux aires, malgré tous les points communs, soient aussi différentes entre elles qu’on le voudra ». (Exercices de calcul intégral, III.^e partie, pag. 316). Effectivement, entre les limites assignées, faites couper la proposée en $n$ points, par une courbe parabolique, dans l’équation de laquelle (38) vous aurez admis un coefficient indéterminé de plus, ce qui donnera, dans (39 et 40), un terme et un coefficient de plus. Ensuite, déterminez les $n+1$ coefficiens, par le moyen des équations (39 et 40), en faisant, dans cette dernière, $Z$ égale à une quantité donnée ; de cette manière vous aurez, entre les limites assignées, une courbe parabolique du degré $n+1$ qui, avec $n$ points communs entre elle et la proposée, aura pourtant une aire donnée arbitrairement, et par conséquent aussi différente de l’aire de la proposée qu’on pourra le désirer.

Cependant, si, entre les limites assignées, la courbe proposée n’a point d’affections singulières, telles que branches multiples, branches infinies, points conjugués, points de rebroussement, etc. ; ou si, analitiquement parlant, entre ces limites, aucune des différentielles $\operatorname {dF} x,\operatorname {d^{2}F} x,\ldots$ ne devient infinie ; en un mot, si la série de Taylor peut exprimer ses ordonnées dans tout l’intervalle, et telle est la supposition généralement admise, on conçoit que plus on assignera de points communs entre la proposée et une courbe parabolique d’un degré égal au nombre de ces points, et plus aussi l’aire de cette dernière courbe approchera de l’identité avec l’aire de la première. Il n’est point superflu de confirmer cet aperçu par des considérations analitiques.

Supposons une courbe parabolique complète de l’ordre $n,$ passant,