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PROBLÈME

entre les limites $0,n,$ par $n+1$ points de la proposée ; elle aura pour équation notre formule (44) que nous mettrons sous la forme

$y=U\,;$

$U$ étant la fonction rationnelle et entière de $u$ composant le second membre de (44). Quand $u$ recevra l’accroissement quelconque $\alpha ,$ on aura

$\operatorname {E} ^{\alpha }y=U+{\frac {\alpha }{1}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} u}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}U}{\operatorname {d} u^{2}}}+\ldots U+U'.$

Or, quand on fait $u$ égal à un des nombres de la suite $1,2,3,\ldots n,$ à $4$ par exemple, $U$ devient égal à $\operatorname {E} ^{4}\nu$ ; et, quand on augmente $u$ d’une unité, $\operatorname {E} ^{\alpha }y$ devient $\operatorname {E} y,$ et, dans notre exemple, égal à $\operatorname {E} ^{5}\nu .$ La fonction $U',$ qui d’ailleurs n’a qu’un nombre fini de termes, attendu que, $U$ étant une fonction rationnelle et entière de $u,$ ses différentielles finissent par s’anéantir ; la fonction $U',$ dis-je, est donc telle que, pour $\alpha =0,$ elle est nulle, et que, pour $\alpha =1,$ elle est égale à $\operatorname {E} ^{5}\nu -\operatorname {E} ^{4}\nu$ ; quantité qui sera évidemment d’autant plus petite que les ordonnées voisines seront plus rapprochées ; ce qui est notre hypothèse relativement à la proposée. Donc, pour toute valeur de $\alpha ,$ entre $0$ et $1,$ la fonction $U'$ sera très-petite, puisque c’est une fonction finie, rationnelle et entière de $\alpha$ ; donc, dans l’intervalle de deux ordonnées consécutives de la proposée, les ordonnées à la courbe parabolique diffèrent très-peu les unes des autres et de leurs limites ; et, puisque telle est l’hypothèses, relativement aux ordonnées de la proposée, les aires correspondantes, dans l’une et l’autre courbes, doivent aussi être très-peu différentes.

Je m’abuse peut-être ; mais je ne saurais taire que la méthode des courbes paraboliques me semble, en général, préférable à la méthode directe (I, II), qui consiste à prendre pour approximation un certain nombre de termes des séries (11, 14, etc.) ; car, sans parler des difficultés et des longueurs dans lesquelles cette dernière