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DES QUADRATURES.

engage, pour chaque cas particulier ; embarras dont on se formera l’idée, en imaginant qu’on se trouve contraint de calculer numériquement plusieurs ordres successifs de différentielles qui peuvent être souvent fort compliquées ; elle est entièrement impuissante quand elle rencontre des séries divergentes, ou même des séries très-peu convergentes ; tandis que la première, après un léger examen ; nécessaire pour reconnaître son aptitude, parvient à une très-grande approximation, par des calculs fort simples, dont une bonne partie est toute digérée dans des tables.

Je prends un exemple fort simple ; la recherche du logarithme de $2\,;$ c’est le premier exemple que s’est proposé M. Kramp (Annales, tom. VI, pag. 288) ; et nous savons que la méthode parabolique s’y applique avec beaucoup de facilité.

Je fais donc $y=\operatorname {F} x={\frac {1}{x}}\,;$ d’où $Z=\int \operatorname {F} x\operatorname {d} x{\frac {x}{a}}=\operatorname {Log} .\left({\frac {x}{a}}\right)\,;$ et pour avoir $Z=\operatorname {Log} .2,$ je suppose $\omega =1,\ a=6,\ x=12\,;$ la suite des différentielles de la fonction $\operatorname {F} x$ est

${\frac {\operatorname {dF} x}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d^{2}F} x}{\operatorname {d} x^{2}}}=+{\frac {1}{x^{3}}},\quad {\frac {\operatorname {d^{3}F} x}{\operatorname {d} x^{3}}}=-{\frac {1}{x^{4}}},\ldots$

D’après ces formules, les séries (19, 20, 22), donnent, sans peine à la vérité,

${\begin{aligned}\operatorname {Log} .2=&1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\ldots ,\\\\\operatorname {Log} .2=&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.2^{2}}}+{\frac {1}{3.2^{3}}}+{\frac {1}{4.2^{4}}}+\ldots ,\\\\\operatorname {Log} .2=&{\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {1}{3.3^{2}}}+{\frac {1}{5.3^{4}}}+{\frac {1}{7.3^{6}}}+\ldots \right).\\\end{aligned}}$

de ces trois séries, la première est inutile, attendu qu’elle n’est point assez convergente ; la seconde n’est guère plus avantageuse ;