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PROBLÈME

conséquemment cette méthode qu’on doit s’efforcer de perfectionner. L’aire parabolique approcherait incontestablement plus de l’aire véritable si, outre un nombre $n$ de points communs, les deux courbes avaient entre elles, à ces points, des contacts plus ou moins intimes ; or, il est toujours possible de satisfaire à cette nouvelle condition, quand on a l’équation de la proposée. En effet, en différentiant l’équation (38), qui n’est plus alors terminée au terme $Nu^{n},$ on trouve

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}&=A+2Bu+3Cu^{2}+\ldots \\\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}&=2B+2.3Cu+3.4Du^{2}+\ldots \\\\{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}&=2.3C+2.3.4Du+3.4.5Eu^{2}+\ldots \\\end{aligned}}$

Ce sont autant de formules qui donneront les coefficiens différentiels aux sommets de chacune des ordonnées $\nu ,\operatorname {E} \nu ,\operatorname {E} ^{2}\nu ,\ldots$ en y faisant successivement $u=0,u=1,u=2,\ldots$. Si, pour fixer les idées, on veut que la courbe parabolique ait, aux points communs avec la proposée, des contacts du premier ordre, ou des tangentes communes ; en employant, pour abréger, les lettres $\alpha ,\beta ,\ldots$$\mu ,\nu ,$ simples ou marquées de plus ou moins d’accens pour représenter les $n+1$ ordonnées équidistantes ou leurs coefficiens différentiels successifs, respectivement ; en faisant attention que $\omega =\nu$ et que $\alpha '=A,$ on aura les équations

proximation, toute série soit divergente, soit même semi-convergente, dont les termes sont tous de mêmes signes, ou deviennent de mêmes signes, à partir de l’un quelconque d’entre eux ; ainsi que toute série divergente ou semi-convergente, ayant perpétuellement des termes tantôt positifs et tantôt négatifs ; mais de laquelle on ne pourra pas prouver que, par quelque transformation, elle peut être ramenée à une série véritablement convergente, soit immédiatement, soit à partir de l’un quelconque de ses termes.

J. D. G.