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DES QUADRATURES.
![{\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{1}\beta &=\alpha +\alpha '+B+C+\ldots \\\gamma &=\alpha +2\alpha '+2^{2}B+2^{3}C+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\nu &=\alpha +n\alpha '+n^{2}B+n^{3}C+\ldots \end{alignedat}}\right\}(48)\left.{\begin{alignedat}{1}\beta '&=\alpha '+2B+3C+\ldots \\\gamma '&=\alpha '+2.2B+3.2^{2}C+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\nu '&=\alpha '+2nB+3n^{2}C+\ldots \end{alignedat}}\right\}(49)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d23a27e61378d3065f28b0ae1462fd2c9630270)
Les premières (48), qui sont la même chose que (39), exprimant
la communauté de
points : les dernières (49) exprimant la communauté de
tangentes. Il faudra, pour avoir l’aire
les combiner avec l’équation
![{\displaystyle Z=n\alpha +{\frac {1}{2}}n^{2}\alpha '+{\frac {1}{3}}n^{3}B+{\frac {1}{4}}n^{4}C+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a13d44492afb1d35c32705fbd1f06fdfe1f6003)
(50)
Les équations (48, 49), séparément en nombre
ensemble en
nombre
détermineront un nombre
de coefficiens
c’est-à-dire ; les
coefficiens qui suivent
; de manière que le
dernier terme de (38) sera de l’ordre
Ainsi, on peut toujours faire passer, par
points de la proposée, une courbe parabolique
de l’ordre
qui ait, à ces points, avec la première, des
tangentes communes. Si on voulait que la courbe parabolique eût
à la fois des contacts du premier et du second ordre, c’est-à-dire,
des tangentes et des rayons de courbure communs aux équations, (48, 49), il faudrait joindre les suivantes, aussi en nombre
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\beta ''=\alpha ''+2.3C+3.4D+\ldots \\&\gamma ''=\alpha ''+2.3.2C+3.4.2^{2}D+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\nu ''=\alpha ''+2.3.nC+3.4.n^{2}D+\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af0be74f8d558556e9a2676a761cd238af8612c)
Par le moyen de
équations, on déterminerait
coefficiens